Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
концов последовательные числа, равно как и их номера. Что же касается
нормального распределения, то оно характеризуется тем, что ранги следуют
в том же порядке, что и номера, и что всегда можно устроить так, чтобы
ранг некоторой точки стал равным ее номеру.
Можно лучше разобраться в изложенном, Рис. 1 если рассмотреть рис. 1;
для него было ис-
пользовано круговое изображение. Две граничные окружности х = а и х = Ъ
представлены сплошными линиями, то же сделано и для кривой X = с; что
касается окружности х = с, то она изображена пунктирной линией; внешние
элементарные дуги будут
6. Нумерация ветвей
133
12, 34, 56 и 78, а внутренние элементарные дуги - 23, 45, 67, 81; дуги
12, 78, 67, 23 являются первичными, дуги 34, 78, 45, 81 - последними;
дуга 34 перекрыта дугой 56, а дуга 56 перекрыта дугой 12.
§ 6. Нумерация ветвей
Рассмотрим на спрямленном изображении различные ветви X = ж; сопоставим
каждой ветви (А) число п(А), соблюдая при этом следующее условие.
Если горизонталь ж = с пересекает две ветви (А) и (В) и если ее
пересечение с (А) будет слева от ее пересечения с (В), то должно быть
п(А) < п(В).
Нетрудно показать, что это условие не вносит никакого противоречия и что
можно подобрать числа п(А) таким образом, чтобы одновременно
удовлетворялись все эти неравенства. Число п(А) будет называться рангом
ветви (А). Можно выбрать эти числа так, чтобы они представили всю
последовательность целых чисел, начиная от - ос вплоть до +ос, причем без
какого-либо пропуска; если бы пропуски существовали, то для их заполнения
было бы достаточно "сомкнуть ряды".
На спрямленном изображении число ветвей бесконечно, и ранги следуют от -
оо до +ос, но эти ветви соответствуют лишь конечному числу ветвей на
круговом изображении, так как каждой точке кругового изображения
соответствует бесконечное число точек спрямленного. Итак, достаточно
представить себе часть спрямленного изображения, заключенную между у = у0
и у = у0 + 2ж и содержащую лишь конечное число ветвей, так как
спрямленное изображение при возрастании у на 27Г воспроизводится
периодически.
Аналогично определяется и ранг ветвей (X) = ж. Номером ветви X = ж будет
ранг ветви (X) = ж, являющейся преобразованием первой; номером ветви (X)
= ж будет ранг ветви X = ж, являющейся ее обратным преобразованием.
Нетрудно дать себе отчет в том, как такая нумерация ветвей X = ж связана
с нумерацией пересечений X = с и ж = с, изученной в предыдущем параграфе.
Рассмотрим окружность ж = с, представленную на спрямленном изображении
горизонталью; ее пересечения с X = с будут находиться на одной из ветвей
X = ж.
134
Об одной геометрической теореме
Горизонталь х = с не встретится со всеми ветвями X = х, но все ее точки
пересечения с одной из этих ветвей будут находиться на X = х\ номера и
ранги ее точек пересечения с X = с следуют в том же порядке, что и номера
и ранги соответствующих ветвей X = х. Но в то время, как
последовательность номеров (или последовательность рангов) точек
пересечения Х = сиж = сне имеет пропусков, последовательность номеров
(или последовательность рангов) соответствующих ветвей X = х может их
иметь, так как х = с не пересекает всех этих ветвей. Для того, чтобы
перейти от второй последовательности к первой, достаточно "сомкнуть
ряды". Следует заметить, что, "смыкая ряды", мы не меняем четности
номеров (а равно и рангов).
Условимся говорить, что номера (или ранги) двух ветвей являются
последовательными на уровне данной горизонтали х = с, если эта
горизонталь не пересекает никакой ветви, номера (или ранги) которой
заключены между номерами (или рангами) этих двух ветвей.
В соответствии со всеми этими соглашениями, номер ветви X = х, и ранг и
номер соответствующей точки пересечения между X = с и х = с будут всегда
одинаковой четности.
Кривые X = х делят круговое кольцо (или его спрямленное изображение) на
области; в одних имеем X > х, а в других X < х. Из соглашения настоящего
и предыдущего параграфов вытекает, что области X > х ограничены слева
ветвями четного номера, а справа - ветвями нечетного номера. Для областей
X < х имеет место противоположное.
Рассмотрим основание (или вершину), в котором сходятся две ветви. Пусть
ас и /?о - номер и ранг левой ветви, ад и /Зд - номер и ранг правой
ветви; два номера ао и ад, так же как и два ранга /?о и /Зд, должны быть
последовательными на уровне этого основания (или этой вершины). Будем
говорить, что это основание (соответственно, вершина) нечетно, если ао
нечетное, и четно при четном ао-
Будем говорить, что основание (вершина) является прямым при ао < а\ и
обратным при ао > ад.
§ 7. Запрещенные области
Рассмотрим на спрямленном изображении две кривые х = с и X = с и
различные области, определяемые ими. Будем различать дозволенные области,
в которых знак Х - с тот же, что и знак х - с, и области
§ 7. Запрещенные области
135
запрещенные, в которых оба знака различны и в которые, следовательно, не
