Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
работой, поэтому считаю необходимым пояснить в нескольких словах, почему
я решился на такую публикацию, а также - почему я занялся этой работой.
Уже довольно давно я доказал существование периодических решений в задаче
трех тел, однако результат не был полностью удовлетворительным, так как,
если существование каждого вида решений и было установлено для малых
значений масс, оставалось неясным, что случится для больших значений,
какие из этих решений останутся и в каком порядке они исчезнут. Размышляя
над этим вопросом, я пришел к убеждению, что ответ должен зависеть от
справедливости или ложности некоторой геометрической теоремы,
формулировка которой очень проста, по крайней мере, для случая
ограниченной задачи и для задачи динамики только с двумя степенями
свободы.
Итак, я должен был установить, справедлива ли эта теорема, или она
неверна, однако я встретился с затруднениями, которых не ожидал. Мне
пришлось по отдельности рассмотреть большое число особых случаев, но
возможные случаи чересчур многочисленны, чтобы я смог их все изучить.
Однако, во всех случаях, которые мне удалось рассмотреть, теорема
оказалась правильной. В течение двух лет я безуспешно пытался или найти
общее доказательство, или же обнаружить такой пример, который привел бы к
опровержению теоремы.
Итак, мое убеждение в том, что теорема справедлива, укреплялось с каждым
днем, но мне не удалось подвести под него солидное основание.
Представляется, что в подобном положении я должен был бы воздержаться от
какой бы то ни было публикации, пока не решу вопроса, однако после
бесполезных попыток, которые я предпринимал в течение
2. Формулировка теоремы
113
ряда долгих месяцев, мне показалось, что самым мудрым решением было бы
предоставить проблеме созревать, а мне - отдохнуть от нее несколько лет.
Однако это было бы правильно, если бы я был уверен в том, что смогу со
временем снова взяться за эту проблему, но, учитывая мой возраст, я не
могу за это поручиться. С другой стороны, значение предмета слишком
велико (и я попытаюсь ниже разъяснить это), а совокупность уже полученных
результатов слишком значительна, чтобы я решился бесполезно забросить их.
Я могу надеяться, что геометры, которые заинтересуются этой проблемой и
окажутся, вне всякого сомнения, счастливее меня, смогут извлечь некоторую
пользу из этих результатов и применить их для того, чтобы найти нужный
путь.
Надеюсь, что этих рассуждений мне достаточно для оправдания.
§ 2. Формулировка теоремы
Будем обозначать через ж и у полярные координаты точки и рассмотрим
круговое кольцо, заключенное между двумя окружностями, внешней
окружностью х = а и внутренней окружностью х = Ъ. Рассмотрим точечное
обратимое преобразование этого кольца Т самого на себя. Обозначим через х
и у координаты точки М, а через X и Y - координаты преобразованной точки,
и наложим два следующих условия.
Первое условие. Так как Т преобразует круговое кольцо самое в себя, то
оно преобразует самих в себя и две граничные окружности, х = а и х = Ъ,
так что получим X = х, когда х = а или х = Ь; однако при этом Y < у при х
= а и Y > у при х = Ь или наоборот. Иначе говоря, описанное
преобразование преобразует друг в друга каждую из граничных окружностей,
причем все точки каждой окружности продвигаются в одном и том же
направлении, хотя вообще и на неравные величины, но таким образом, что
вращения обеих окружностей происходят в противоположные стороны. Может
показаться, что подобная формулировка не имеет смысла, поскольку у и Y
определены лишь с точностью до кратных 2тг, но если мы зададим в
соответствии с каким-либо соглашением точное значение Y - у в какой-либо
точке кольца, то значение Y - у полностью определится вследствие
непрерывности во всех точках кольца.
Второе условие. Преобразование сохраняет площади или, более общим
образом, оно допускает положительный интегральный инвариант,
114
Об одной геометрической теореме
иначе говоря, существует положительная функция /(ж, у), такая, что Jj
/(ж, y)dxdy = IJ /(X, Y)dX dY,
причем эти два интеграла распространены на некоторую область и на
соответствующую преобразованную область.
Если выполнены эти два условия, то я утверждаю, что всегда внутри кольца
будут существовать две точки, которых преобразование не изменяет.
Будем для упрощения предполагать, что преобразование является
аналитическим, но в этом нет ничего существенного.
Можно было бы попытаться наметить следующее доказательство. Достаточно
будет пояснить его для простейшего случая /(ж, у) = 1. Тогда X и Y,
рассматриваемые как функции от ж и у, должны будут удовлетворять
уравнению в частных производных
dXdY _ dXdY = х dx dy dy dx '
т. e. условию, что
dZ = (X - x)dy - dX(Y - у)
есть точный дифференциал.
Нетрудно усмотреть, что Z есть однозначная функция х и у, периодическая
по у; она должна иметь максимум и минимум, которые недостижимы на
граничных окружностях. Итак, если бы ж и у были однозначными функциями от
