Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала первую гипотезу. Будет ли амплитуда некоторых нутаций
меняться? Согласно предыдущему параграфу этот вопрос сводится к
следующему: какой имеется резонанс - простой или двойной? Другими
словами, имеет ли уравнение для е, аналогичное уравнению Д = 0
предыдущего параграфа, нулевой корень, а все другие при этом являются
конечными, или же оно допускает нулевой корень и еще один, очень малый?
Ответ можно найти очень быстро. В предельном случае неизменяемого тела,
то есть когда предполагается бесконечная жесткость, существует простой
резонанс. В этом случае существует один нулевой корень, а другие -
конечные; необходимо также, чтобы эти корни были конечными для некоторой
жесткости, ибо если бы один из них был очень малым для любой жесткости,
он остался бы таковым и для бесконечной жесткости. Значит, имеется
простой резонанс, ги-ростатическая жесткость проявляется полностью,
амплитуда разных нутаций является такой же, как и для неизменяющегося
тела.
Перейдем ко второй гипотезе, в которой речь пойдет об изучении
собственных колебаний системы. Твердая мантия будет следовать законам
упругости. Пусть х, у, z - координаты некоторой точки; х + и, у + v, z +
w - ее координаты после деформации. Положим
а _ du , dv , dw dx dy dz '
и пусть p. и v - два коэффициента, тогда получим
106
О прецессии деформируемых тел
Кроме того, имеются граничные условия. Обозначим составляющие давления
Рхх, Рху, ... так, что
= + ...
Пусть а, /3, 7 - направляющие косинусы нормали к свободной поверхности,
положим
X = аРхх + (ЗРху + jPXz, К аРху Т (ЗРуу Т 'yPyzi Z = aPxz + fiPyZ + 7
Pzz-
Вектор X, Y, Z задает силу, действующую на элемент свободной поверхности.
На внешней свободной границе этот вектор быть равен нулю. На внутренней
границе он направлен по нормали к поверхности и по величине равен
гиростатическому давлению жидкости.
Предположим, что внешняя и внутренняя границы будут сферами (или мало
отличающимися от них фигурами), и что давление р равно, к примеру,
сферическому многочлену Р второго порядка. Мы сможем удовлетворить нашим
уравнениям, полагая
u = xPR + S^~, v = yPR + w = zPR + S^f-,
ax ay az
где R и S - функции от r = \Jx1 + y2 + z2. Можно показать, что R и S
удовлетворяют двум уравнениям второго порядка, а четыре постоянные
интегрирования определяются граничными условиями. Следовательно,
неизвестные функции Rm S могут быть полностью определены и не зависят от
сферического многочлена Р, если оставить неизмененным его порядок.
Общее решение задачи может быть найдено следующим образом: пусть
и = их, v = Vi, w = w±
только что рассмотренное частное решение. Тогда общее решение будет иметь
вид
U = Ui+U2, V = Vi+V2, W=Wi+W2,
IV. Воздействие упругости
107
где U2, V2, v)2 представляют произвольное перемещение, для которого
рассматриваемое тело ведет себя как неизменяемое твердое тело.
Следовательно, это перемещение является простым вращением. Предположим,
что тело вращается вокруг оси, расположенной в плоскости ху. В этом
случае решение будет зависеть от двух произвольных постоянных.
Прежде всего необходимо вычислить р. Для этого воспользуемся результатами
второго параграфа. Действительно, можно допустить, что движение жидкости
остается простым, для этого достаточно, как мы уже видели, чтобы ее
внешняя поверхность оставалась эллипсоидальной, то есть чтобы внутренняя
поверхность твердой мантии, первично сферическая, стала вследствие
деформации эллипсоидом. Нетрудно показать, что эта гипотеза соответствует
тому, что р = Р является сферическим многочленом второго порядка.
Следовательно, мы снова получим уравнение
коэффициенты при них следует вычислить. Используя способ, изложенный во
втором параграфе, из уравнений (1) находим
Если положить h + ih\ = и> и вспомнить выражение для ? и у, то эти
уравнения примут форму:
х" dx = dp - dV,
V = kl'?x20 + (l-k')^2 %2-
(1)
Слагаемые в р, которые нас интересуют, имеют вид
hx0z0 +h1y0z0,
-w2peiutt + су" = peiwtS," = к(решС + су) + и. (2)
Таким образом для интересующих нас слагаемых получим
р = 9\coz0(xо - iy0),
где символ обозначает действительную часть.
108
О прецессии деформируемых тел
Отбрасывая квадраты е, г) иш, можно показать, что р = Р = - гу)е~гш1
= Ш>г0(х0 - гу0)-
При этих условиях, решение зависит от четырех произвольных постоянных,
которые задаются действительной и мнимой частью ш и двумя постоянными,
определяющими вращение 112, V2, W2-
Теперь необходимо вывести уравнения, аналогичные уравнениям (13) и (14)
третьего параграфа, для определения величин, играющих роль ?i и 771.
Первое уравнение - это уравнение площадей; второе необходимо заменить
уравнением упругого равновесия, которое имеет вид
Y,xu= (r2R + 2S)P.
Легко проверить, что это выражение равно ^хщ, так как = 0.
Таким образом, возвращаясь к уравнению (2), найдем соотношение между
и действительными и мнимыми частями ? и у.
Мож-
но представить это уравнение в форме, аналогичной уравнениям (13)
