Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
линейные относительно А. Нули многочлена Д, которые назовем ?i, ?2,
соответствуют периодам собственных колебаний системы, определяемых
уравнением (6). Рациональные функ-Р Р
ции -Д, -Д, ... могут быть разложены на простые дроби. Таким образом,
находим
_ ffli I (r)2 ,
Я --------1 h ¦ • ¦ ,
? - ?l ? - ?2
, bl &2 I
b =----------------------1---------------------,
S - Si ? - ?2
Нетрудно видеть, что уравнение (6) удовлетворяется, если положить
х = aielElt, y = bielSlt, z = ciel?lt, ... (9)
III. Гиростатическая жесткость
99
Если е близко к ?i, то а,Ь, с, ... становятся очень большими. Это явление
резонанса. В этом случае член, имеющий в качестве знаменателя е - ?i,
становится преобладающим, и имеем
А - А - А - bi ~ h ~ ci " "' '
т.е. система ведет себя, как при собственном колебании (9), близком к
резонансному.
Следовательно, если период возмущающей силы становится очень близким к
периоду одного из собственных колебаний системы, то она ведет себя так
же, как при этом собственном колебании.
Этот результат перестает быть справедливым, если два коэффициента ?i и ?2
очень мало отличаются друг от друга и если ? одновременно близко и к ?i,
и к ?2 таким образом, что ? - ?i и ? - ?2 одного и того же порядка. В
этом случае больше нет преобладающего члена. Это явление называется
двойным резонансом.
4. Применим эти принципы для объяснения гиростатической жидкости.
Рассмотрим некоторую механическую систему в относительном равновесии по
отношению к подвижным осям, вращающимся вокруг оси z с постоянной
скоростью ш. Система может колебаться вблизи этого положения
относительного равновесия. Мы будем различать собственные колебания, т.
е. те колебания, которые возникают вблизи равновесия в случае, когда
система освобождена от всякой внешней возмущающей силы, и ее вынужденные
колебания, период которых будет таким же, как период возмущающей силы.
Если неподвижному наблюдателю кажется, что возмущающие силы меняются
очень медленно, то наблюдателю, связанному с подвижными осями, силы
покажутся вращающимися вокруг оси z с угловой
2 7Г
скоростью ш, т. е. что их период будет равен приблизительно =?-.
Итак, среди собственных колебаний системы необходимо различать следующие:
система, согласно гипотезе, может вращаться с угловой скоростью ш вокруг
оси z, и именно тогда она находится в относительном равновесии по
отношению к вращающимся осям. Но если устранить все внешние действия, она
сможет равным образом вращаться с постоянной скоростью ш вокруг оси,
очень мало отличающейся от оси z. При указанных условиях система немного
отклоняется от относительного равновесия, и возникают собственные
колебания, период
100
О прецессии деформируемых тел
которых как раз При таких собственных колебаниях система будет вести себя
как твердое тело.
Таким образом, возникнет резонанс, и при вынужденном колебании система
будет вести себя примерно как твердое тело. Будет иметься гиростатическая
жесткость. Исключением будет являться лишь наличие двойного резонанса,
когда система обладает другим собственным колебанием, где она не ведет
себя как твердое тело, и период которого близок к Щ.
LO
5. Это как раз происходит в случае, описываемом в первом параграфе.
Существует собственное колебание, период которого задан формулой
(здесь я использую обозначения из первого параграфа). Этот период очень
длинный, т. е. примерно такой же, как период возмущающих сил.
Для того чтобы лучше дать представление об этом, нам следует вернуться к
проблеме, используя обозначения параграфа I и методы параграфа II. Тем
самым мы облегчим сравнение результатов из этих двух параграфов и
изучение промежуточных случаев.
Соотношение между координатами х, у, z и начальными координатами хо, уо,
Zq выражаются формулами (1) как для твердой мантии, так и для жидкого
ядра, только функции а, (3, j не будут одинаковыми в обоих случаях.
Предположим, что уравнение общей поверхности, которая изнутри
ограничивает твердую мантию, а жидкое ядро снаружи, имеет вид
2,2,2 1 хо + Vo + zo - 1-
Это заставляет предположить, что твердая мантия была еще жидкой в
идеальном начальном состоянии и стала твердеть в дальнейшей фазе после
того, как приобрела свою определенную форму. Эту гипотезу можно
предполагать беспрепятственно - поскольку речь идет об идеальном
начальном состоянии.
Рассмотрим частное решение, когда вся система вращается с угловой и>, и,
следовательно, где имеются решения, мало отличающиеся от решений (10) из
второго параграфа как для мантии, так и для ядра. Положим, что величины
С = <^71 + iSl2 = 71 + *72) V = $аз + iS03 = а3 + i/Зз
III. Гиростатическая жесткость
101
соответствуют жидкости, a ?i и щ - величины, соответствующие твердой
мантии.
Эта мантия должна удовлетворять условию (16), п. 16 второго параграфа, то
есть имеем
реш& + сщ = 0. (10)
Запишем теперь, что внешняя поверхность жидкости совпадает с внутренней
поверхностью твердого тела. Прежде всего условие того, что свободная
