Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
Для начала предположим, что жидкость однородна.
Пусть xq, уо, Zo - начальные координаты одной из ее частиц, х, у, z -
ее настоящие координаты. Если движение простое, то х,
у, z
являются линейными функциями от хо, уо, Zo, и мы можем записать:
' х = аххо +/З1У0 + 7izo,
< у = а2хо + /32у0 + 72Zo, (1)
" Z = аЗх0 + РзУо +73^0,
где а, (3, 7 - функции времени. Жидкость является несжимаемой, поэтому
детерминант Д матрицы этих коэффициентов равен единице.
Предположим, что исходная свободная поверхность жидкости имеет форму
эллипсоида. Поскольку движение простое, то эта свободная
II. Однородная жидкость
85
поверхность будет всегда сохранять форму эллипсоида. Ничто не заставляет
нас рассматривать в качестве исходной ситуации ту, которая в некоторый
момент времени была в действительности. Мы можем выбрать идеальную
начальную ситуацию, от которой можем перейти к реальной ситуации через
простое (а впрочем и любое) движение. Следовательно, мы сможем
предположить, что свободная исходная поверхность задана следующим
уравнением:
Но поскольку частицы, изначально находящиеся на поверхности, там же и
остаются, то уравнением свободной поверхности всегда будет
где х" = а"хо + (3"уо + 7i - вторая производная от х по времени, р -
давление, р - плотность жидкости, a V - потенциал. Поскольку жидкость
однородна, то мы можем принять р = 1. Что касается потенциала, то он
состоит из двух частей: внутренний потенциал Vi, возникающий вследствие
притяжения частиц жидкости между собой; внешний потенциал Ve, вызванный
действием внешних (небесных) тел. Следовательно, мы можем окончательно
записать уравнение в виде
2. Для того, чтобы подтвердить наши гипотезы, мы должны показать, что
два члена могут быть равны дифференциалу многочлена второй степени.
Первый член должен быть точным дифференциалом и это может быть только
дифференциал многочлена второй степени, поскольку при простом движении х"
и х являются многочленами первой степени. Перейдем ко второму члену:
1° Vi - многочлен второй степени, если свободная поверхность является
эллипсоидом, поскольку потенциал, вызванный притяжением
2,2,2 1
хо + Уо + zo - 1-
Уравнения гидродинамики приводят нас к
53 х" dx = у - dV,
(2)
86
О прецессии деформируемых тел
эллипсоида является многочленом второй степени внутри этого эллипсоида-,
2° Ve будет многочленом второй степени. Действительно, Ve может быть
разложен по степенями х, у, z. Члены со степенями 0 и 1 можно опустить
при изучении движения тела вокруг своего центра тяжести. Члены выше
второй степени не должны учитываться вследствие малости. Следовательно,
остаются члены второй степени.
3° Давление р подчинено единственному условию - оно является постоянным
на свободной поверхности. Так как свободная поверхность является
эллипсоидом ф = 1, то достаточно положить у пропорциональным ф, чтобы
удовлетворить этому условию и чтобы в то же время р заведомо было
многочленом второй степени. Таким образом, наши гипотезы подтверждены.
3. Пусть ф = 1 - уравнение свободной поверхности, которая
предполагается мало отличающейся от сферы. Можем записать
ф = (1 + а)х2 + (1 + Ь)у2 + (1 + c)z2,
где а, Ъ ш с очень малы и подчиняются условию несжимаемости
а + b + с = 0.
Согласно теории притяжения эллипсоидов, мы можем записать V = (1 + к'а)х2
+ (1 + к'Ъ)у2 + (1 + k'c)z2, где к! = |. Мы предполагаем единицы
выбранными таким образом, что
О
для сферы имеем У* = ^х2.
С другой стороны, поскольку ф = ^х\, получим
Vi = k'YJxl + {l-k')YJx2, (3)
и эта формула не будет зависеть от выбора осей. С другой
стороны,
предположим, что
р = Л' Xq + const,
и подставим эти значения р и V в уравнение (2), где для начала
по-
ложим Ve = 0. Отождествляя коэффициенты при x0dx0, yodx0, x0dy0,
II. Однородная жидкость
87
находим
аа" = к а2 + Л,
У^ а" 0 = а0" = к а/3,
(4)
(5)
где для сокращения мы положили
А = 2А'-2к', к = 2{к' - 1) =
О
Если принять во внимание Ve, то получим
(6)
(7)
Разумеется, к этим уравнениям следует присоединить уравнения, которые
можно получить с учетом симметрии, и заметить, что такие суммы, как а"0,
разумеется, обозначают
Далее мы рассмотрим другие аналогичные суммы, где суммирование происходит
другим способом. Так, например, сумму
мы запишем в виде ^а'/аг, где индексы сохранены таким образом, чтобы не
было никакой неясности.
4. Эти уравнения допускают частные интегралы. Если предположим, что Ve
= 0, то мы получим интеграл кинетической энергии (живых сил) и интеграл
площадей. Последний запишется в виде
где т - масса одной частицы. Подставив х, у, z из соотношений (1), его
можно записать как
а" 0 = а" 01 + а'2 02 + а'з0з-
a'la.2 + 0102 + 7i 72
У^ т(х'у - ху') = const,
(а^аг -a^ai) mxl + (a'1f32 -02ai+ot20i - ot20i) тхоУо+-.. =
const.
88
О прецессии деформируемых тел
Поскольку начальной фигурой является сфера = 1? имеем
X mxl = myo = X) X] таЭДо = X] ma;o^o = X] тУо^о = 0.
Таким образом интеграл площадей приводится к виду
Х^(а1а2 - a'2ai) = const, (8)
