Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
1 _ 1 - А
п >3 + 2//- -,
откуда
А - 14 А" 15-
Устойчивость пропадет, как только линейный размер меридианаль-ного
сечения уменьшится до
3°. Наконец, вследствие сжатия р увеличится и, таким образом, неравенство
(10) перестанет выполняться.
По всем этим причинам кольцо быстро разделится на независимые части,
которые будут двигаться, каждая сама по себе, согласно закону Кеплера.
Эти части, описывающие близкие орбиты, в конце концов столкнутся и
объединятся в единое целое.
Заметки о гипотезе Лапласа
71
5. Теперь перейдем к вопросу о направлении вращения планет. Его
пытались разрешить через условия вращения кольца: это вращение считалось
равномерным, благодаря трению; тогда линейные скорости внешних частей
должны быть больше, чем скорости внутренних. Но необходимо отказаться от
этой точки зрения. Действительно, если бы линейные скорости возрастали
вместе с у, т. е. если бы изу возрастало, то
из'у + из > О
и, следовательно,
Атгр > и>2 + 2изиз'у > из2,
а это несовместимо с неравенством (10). Таким образом, кольцо разрушится,
прежде чем его вращение станет равномерным.
Первоначальное направление вращения планеты будет определено условиями
соударений различных частей кольца, когда после того, как они отделились
друг от друга, они сталкиваются и сливаются в единый сфероид. В этот
момент части будут по отдельности подчиняться законам Кеплера. При этом
линейная скорость самых внешних частей будет меньше скорости самых
внутренних, так что первоначальное направление вращения всегда будет
обратным.
Вращения могут стать прямыми только под действием приливов и механизма,
выдуманного Роша.
О НОВОЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ
Comptes rendus I'Academie des Sciences, t. 132, p. 369-371 (18 fevrier
1901)
При исследовании вращательного движения твердых тел с полостью,
заполненной жидкостью, общие уравнения механики могут быть представлены в
форме, удобной для последующих обобщений.
Предположим, что имеется п степеней свободы, обозначим через xi, Х2, •••
, хп - переменные, которые определяют положение системы. Пусть Т и U -
кинетическая и потенциальная энергии.
Рассмотрим непрерывную транзитивную группу1. Пусть Xi(f) - любое
бесконечно малое преобразование этой группы, такое, что
ВД) =1^+1,^ + ... +
г dx 1 * dx2 dxn
Эти преобразования, образующие группу2, удовлетворяют соотношениям
Х{Х}~ Х}.Х{ - ^ ) Cik, sXs.
Можно полагать (поскольку эта группа транзитивная), что
< = d^f = ъх? + +... + чгХ?,
то есть из положения (xi, жг, ... , х") системы можно перейти к
бесконечно близкому положению (xi + x[dt, ... , хп + x'ndt) при помощи
бесконечно малого преобразования группы вида J^7]idtXi(f).
ХВ современной терминологии - группа Ли. - Прим. перев.
2В современной терминологии - алгебру Ли. - Прим. перев.
О новой форме уравнений механики
73
Вместо того, чтобы выражать кинетическую энергию Т как функцию от х' и х,
выразим ее через г] и х. Зададим для г] и х виртуальные приращения ёт] и
ёх, для приращений Т и U находим
Учитывая, что группа является транзитивной, можно положить, что
то есть из положения системы Xi можно перейти в бесконечно близкое
состояние Xi + ёх1 через бесконечно малое преобразование группы ?w"Xi(/).
Положим, что
Частными случаями уравнений (1) являются 1° Уравнения Лагранжа, в этом
случае группа сводится к трансляциям, которые увеличивают каждую из
переменных ж; на бесконечно малую постоянную.
2° Уравнения Эйлера для вращения твердых тел, где в качестве гц
используются составляющие поворота р, <7, г, a S2s соответствует парам
внешних сил.
Они особенно интересны в случае, когда U = 0, а Т зависит только
ОТ 7].
ёХр - + U)2^2 + • • . + LOrX^ ,
Тогда для интеграла Гамильтона
будем иметь
Несложно получить соотношения
Из принципа наименьшего действия находим
(1)
О ПРЕЦЕССИИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
Bulletin astronomique, t. 27, p. 321-356 (septembre 1910)
I. Твердая мантия и жидкое ядро
1. Именно лорд Кельвин одним из первых высказал мнение о твердости
земного шара и нашел всесторонние аргументы в пользу своего мнения.
Некоторые из них основаны на наблюдениях прецессии и нутации. В
частности, будем ссылаться на его Popular Lecture, vol. Ill, p. 244 и его
Mathematical Papers, vol. Ill, p. 320. В своих исследованиях он
рассматривает гипотезу недеформируемой твердой мантии, внутри которой
находится однородная жидкость. Он предполагает, что и внешняя поверхность
этой твердой мантии, и внутренняя ее полость являются эллипсоидами.
Первоначально он утверждал, что константа прецессии, согласно этой
гипотезе, должна значительно отличаться от константы, соответствующей
твердому телу Земли и является результатом наблюдений. Это было бы более
очевидно, если бы внутренняя полость была сферической. Внутренняя жидкая
сфера тогда имела бы ось вращения, отличную от оси вращения твердой
мантии. Первая из этих осей была бы фиксирована, тогда как вторая
прецессировала, поэтому константа прецессии была бы такой, как будто
