Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
получили бы
(¦п2 + а)(п2 + /3) = 0,
а т. к. а и /3 в общем случае положительны, то имеем неустойчивость. Это
уже означает, что для устойчивости необходимо, чтобы масса кольца была
достаточной и тем большей, чем больше ш.
Для того, чтобы распространить эти результаты на непрерывное кольцо,
сначала понадобится немного доброй воли, так как в непрерывном кольце о;
не является вообще говоря постоянной, и а во всяком случае переменная. Но
если меридианальное сечение кольца мало относительно своего радиуса, то
не безрассудно предполагать, что уравнение (7) остается приблизительно
применимым. Остается определить а и /3.
Заметки о гипотезе Лапласа
67
Пусть Vo - потенциал невозмущенного кольца, Vo+P - потенциал возмущенного
кольца, р - плотность невозмущенного кольца, р + ё -
Р ё
плотность возмущенного кольца. Таким образом - и ^ очень малы.
Число т не фигурирует явно в уравнении (7), но а и /3 зависят от т. Мы
должны выбрать число т самым неблагоприятным для устойчивости, поскольку
достаточно, чтобы какое-либо из уравнений (7) имело бы мнимые корни, и
тогда кольцо будет неустойчивым. Итак, именно большие значения т и
являются самыми неблагоприятными. Таким образом, предположим, т настолько
велико, что если перемещаться вдоль окружности, то функции V, е, а будут
изменяться намного быстрее, чем если перемещаться по радиус-вектору.
Следовательно,
будут значительно меньше, чем а а значительно
de ds da da
меньше /3.
Выберем прямоугольные оси, считая началом координат рассматриваемую
точку. Ось у направлена по радиус-вектору в центр туманности, ось z
параллельна оси вращения, ось х - касательная к окружности, описанной
двигающейся точкой.
В этих условиях
АР = -Ажё.
Но, согласно сделанному выше предположению (т - очень большое),
производные по у и z очень малы по сравнению с производными
j2 р
по х. При таких условиях АР сводится практически к -- и тогда
dx
можно записать, что
d2p л Л
1Л = -ы-
С другой стороны, имеем (согласно связи между прямоугольными координатами
и полярными координатами а и е)
da = a dx, (8)
и, следовательно,
dV_ _ dP _ adP da da dx Уравнение непрерывности нам дает
_ё _ дёх , дёу Q§z р~ дх ду dz'
68
Заметки о гипотезе Лапласа
где 5х, 6у, Sz - проекции на три оси вектора, который соединяет положения
возмущенного и невозмущенного спутника. Пренебрегая производными по у и
z, мы можем записать
dSy _ QSz _ /л д5х _ да
ду dz ~ ' дх ~ дх'
где частная производная
да 1 да тВ / . ,\
Ш = 'Щ = ^гс°ф,и'° + п')
не имеет ничего общего с отношением ^ дифференциалов, которые
фигурируют в уравнении (8). Следовательно, уравнение непрерывности станет
да 6
отсюда
адх ~ Р'
d2P , да
л?"4(tm)"(r)'
Проинтегрировав, находим
dP А -- = 47Г ара, dx
отсюда
\ лГ" = 4тг(0сг, /3 = 4тгр. a2 da
Таким образом, если подставим в уравнение (7)
а = 0, /3 = 47Г р,
то получим
(За;2 + п2){п2 + 47Г р) - 4 ш2п2 = 0 (9)
или
п4 + п2(4:Жр - и>2) + 127Г ри>2 = 0.
Для того, чтобы корни были действительными, необходимо, чтобы
(47гр - а;2)2 > 12а;247гр, (47Г/о)2 - 1Аи>2{4жр) + из4 > 0.
Заметки о гипотезе Лапласа
69
Значения ^г, которые обнуляют первый член, близки к -^г и 14.
ш 14
Именно первое значение является подходящим. Отсюда выводим, что
А7ГР < 14' (10)
4. Плотность р находится между двумя пределами, заданными
неравенствами (5) и (10). Нижний предел, заданный равенством (5), зависит
от о/, следовательно, он зависит не только от средней угловой скорости,
но и от закона распределения угловых скоростей, что не свойственно для
верхнего предела.
В момент образования кольца плотность р очень мала, так что неравенство
(10) выполняется. С другой стороны, вращение не равномерно и ничто не
мешает предположить, что из2уъ убывает в окрестности точки В и,
следовательно, что кольцо является устойчивым.
Но эту устойчивость можно быстро разрушить тремя путями:
1°. Трение стремится уравнять вращения. Следовательно, если и>' = 0, то
неравенство (5) становится
47Гр > За;2
и несовместимо с неравенством (10).
2°. Вследствие сжатия кольцо концентрируется таким образом, что его
меридианальное сечение стремится свестись к центру силы тяжести. Каков
эффект этого сжатия? Пусть у - радиус окружности, описанной частицей, иш
- ее угловая скорость. Пусть уо и и>0 - значения у и и> в момент
образования кольца. Можно предположить, что в этот момент
^1у1 = М.
С другой стороны, на основании закона площадей, имеем
и> г/о = шу2-
Пусть а - средний радиус окружности
Уо = а(1 + ?о), у = а( 1+е).
Можно предположить, что сжатие происходит равномерно, так что
е = Лео-
70
Заметки о гипотезе Лапласа
Тогда получаем, что
л/УоМ
=
У2
или если € и во малы
3
и =
VМа 2 (l + ?л - 2е) = V.Ма 2 [l + ^(1 - 4Л)].
Видно, что для А = i вращение становится равномерным. Кроме того,
находим, что
где
ш = '/Ма~Щу,
1-4А
А* =
2А
Это влечет
из'у = цш,
и неравенство (5) становится
Ажр > (3 + 2ц)ш2.
Для того, чтобы оно было совместимо с неравенством (10), необходимо
