Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
для нашего сознания. Для того, чтобы отправиться из одной точки в другую,
материальная частица, изолированная от действия внешних сил, но обязанная
двигаться по данной поверхности, выберет геодезическую линию, т. е.
наиболее короткий путь.
Как будто бы эта частица знает точку, куда ее хотят привести, предвидит
время, за которое она туда доберется, следуя тем или иным путем, и
выбирает самый удобный путь. Судя по такому изложению, эта частица
является, если можно так выразиться, живым и свободным существом. Ясно,
что было бы лучше заменить это менее шокирующим
II. Энергетическая система
49
утверждением, где, как сказали бы философы, конечные цели не подменяли бы
действительные причины.
2. Пример с шаром. Последнее возражение, которое, кажется, более всего
возмущало Герца, носит несколько другой характер.
Известно, что такое система со связями. Представим сначала две точки,
соединенные жестким стержнем так, что расстояние между ними сохраняется
неизменным; или, более общо, предположим, что некоторый механизм
поддерживает соотношение между координатами двух или нескольких точек
системы. Это первый вид связи, который называется "жесткой связью".
Предположим теперь, что сфера катится по плоскости. Скорость точки
касания должна равняться нулю. Таким образом, мы получаем второй вид
связи, который выражается соотношением не только между координатами
нескольких точек системы, но и между их координатами и их скоростями.
Системы, в которых существуют связи второго вида, имеют любопытное
свойство, которое мы попытаемся сейчас объяснить на только что
приведенном простом примере. Это пример шара, катящегося по
горизонтальной плоскости.
Пусть О - точка горизонтальной плоскости, а С - центр сферы.
Для полного определения положения подвижной сферы возьмем три неподвижные
оси координат Ох, Оу, Oz, где первые две находятся в горизонтальной
плоскости, соприкасающейся со сферой. И возьмем три оси координат, жестко
связанные со сферой Сг] и С(.
Положение сферы будет полностью определено, если задать две координаты
точки касания и девять косинусов направлений подвижных осей по отношению
к неподвижным осям. Пусть А - положение сферы, когда точка касания
находится в начальной точке О и подвижные оси параллельны неподвижным
осям.
Координаты точки касания равны х = 0, у = 0, и девять косинусов таковы:
1, 0, 0
о, 1, 0:
0, 0, 1
Придадим сфере бесконечно малое вращение е вокруг оси С?. Сфера придет в
положение В, где координатами точки касания ста-
50
Идеи Герца в механике
нут х = 0, у = 0, а девять косинусов будут равны:
1, 0, 0;
О, cose, sine;
О, -sine, cose.
Но это вращение невозможно, т. к. оно заставило бы сферу проскальзывать,
а не катиться по плоскости. Следовательно, невозможно перейти от
положения А к бесконечно близкому положению В непосредственно, т. е.
путем бесконечно малого движения.
Однако сейчас мы увидим, что этот переход может произойти косвенно, т. е.
путем конечного движения.
Начнем с положения А. Заставим сферу катиться по плоскости таким образом,
чтобы мгновенная ось вращения находилась в горизонтальной плоскости и
была всегда параллельна оси Оу, и остановимся, когда ось станет
вертикальной и параллельной оси Oz. Мы придем в положение D, где
координатами точки касания станут х = ^R, у = 0, где R - радиус сферы, а
девять косинусов будут равны:
0, 0, -1;
0, 1, 0; 1, 0, 0.
В положении D точка касания находится на конце вертикальной оси С?.
Применим к сфере вращение е вокруг оси СЭто вращение представляет собой
проворачивание вокруг вертикальной оси, проходящей через точку касания;
оно не допускает никакого скольжения и, следовательно, совместно со
связями.
В таком случае сфера приходит в положение Е, где координатами касания
являются х = ^R, у = 0, а косинусы таковы:
0, 0, 1;
sine, cose, 0;
cose, -sine, 0.
Теперь пусть сфера катится так, чтобы мгновенная ось вращения оставалась
постоянно параллельной оси Оу и, следовательно, чтобы точка касания
всегда находилась на оси Ох. Остановимся, когда точка касания вернется в
начальную точку О. Легко видеть, что мы пришли в положение В.
II. Энергетическая система
51
Следовательно, можно перейти от положения А к положению В посредством
перехода через положения D и Е.
Герц называет системы голономными, если связи не позволяют
непосредственно переходить из одного положения в другое бесконечно
близкое положение, то они не позволяют также переходить от первого
положения ко второму косвенно. В таких системах существуют только жесткие
связи.
Видно, что наша сфера не является голономной системой.
Итак, бывает, что принцип наименьшего действия не применим к неголономным
системам. Действительно, можно перейти от положения А к положению В таким
путем, который мы только что рассмотрели, и, несомненно, множеством
других путей. Среди всех этих путей есть, очевидно, один, который
соответствует наименьшему действию. Следовательно, сфера должна была бы
