Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
быть в состоянии проследовать по этому пути из А в В. Но это не так:
каковы бы ни были начальные условия движения, сфера никогда не перейдет
из А в В.
Более того, если сфера действительно переходит из положения А в положение
А!, она не всегда движется тем путем, который соответствует минимальному
действию.
Принцип наименьшего действия больше не является верным.
"В этом случае, - говорит Герц, - сфера, которая подчинялась бы этому
принципу, казалась бы живым существом, которое сознательно преследовало
бы определенную цель, тогда как сфера, которая следовала бы закону
природы, имела бы вид неодушевленной однообразно катящейся массы... Но
подобных связей в природе не существует. Так называемое качение без
проскальзывания является на самом деле качением с небольшим
проскальзыванием. Это явление входит в ряд необратимых явлений, таких как
трение, еще плохо изученных, к которым мы еще не умеем применять истинные
принципы Механики."
"Качение без проскальзывания, - ответим мы, - не противоречит ни закону
сохранения энергии, ни какому-либо из известных законов физики. Это
явление может быть осуществлено в наблюдаемом мире с такой точностью,
которая позволяет использовать его для конструирования самых точных машин
интегрирования (планиметры, гармонические анализаторы и т.д.) Мы не имеем
никакого права исключать его как невозможное. Проблемы же наши остаются
независимо от того, реализуется ли такое качение в точности или же лишь
приблизительно. Для того, чтобы принять принцип, необходимо потребовать,
чтобы его
52
Идеи Герца в механике
применение к задаче, данные которой близки к точным, давало бы и близкие
к точным результаты. К тому же, другие, жесткие связи также лишь
приблизительно осуществимы в природе. Однако их ведь не исключают из
рассмотрения..."
III. Система Герца
Теперь рассмотрим систему, которой Герц предлагает заменить две теории,
которые он критикует. Эта система основывается на следующих гипотезах:
1°. В природе существуют только системы со связями, но изолированные от
всякого воздействия внешних сил.
2°. Если некоторые тела, как нам кажется, подчиняются силам, то это
означает, что они связаны с другими телами, которые для нас невидимы.
Пусть материальная точка, которая нам кажется свободной, не описывает
между тем прямолинейной траектории. Прежде механики говорили, что этого
не происходит, потому что на нее действует сила, а Герц объясняет это
тем, что она не свободна, а связана с другими невидимыми точками.
На первый взгляд эта гипотеза кажется странной: для чего кроме видимых
тел вводить предположительные невидимые тела? Однако, отвечает Герц, две
старые теории вынуждены равно предполагать кроме видимых тел какие-то
невидимые сущности. Классическая теория вводит силы, энергетическая
теория вводит энергию. Но эти невидимые сущности, сила и энергия,
неизвестного и таинственного происхождения. А наши гипотетические
сущности, напротив, имеют совершенно ту же природу, как и видимые тела.
Проще и естественней, не так ли?
Можно было бы обсуждать этот вопрос и утверждать, что сущности прежних
теорий должны быть сохранены именно по причине их таинственной природы.
Уважение к этой тайне является свидетельством нашего незнания. И
поскольку наше незнание является несомненным, не лучше было бы признать
это, чем скрывать?
Но пойдем дальше и посмотрим, какую пользу извлекает Герц из своих
гипотез.
Движение систем со связями, без внешней силы, определяется одним
единственным законом.
III. Система Герца
53
Среди движений, совместимых со связями, осуществится то движение, для
которого сумма масс, умноженных на квадрат ускорений, является
минимальной.
Этот принцип эквивалентен принципу наименьшего действия, если система
является голономной. Но он более общий, поскольку он также применим и для
неголономных систем.
Чтобы лучше осознать значение этого принципа, приведем простой пример:
точка, которая движется по поверхности. Здесь мы имеем только одну
материальную точку, следовательно, ускорение должно быть минимальным. Для
этого необходимо, чтобы касательное уравнение равнялось нулю. Поскольку
это ускорение равняется где v - скорость, at - время, то v является
постоянной, и движение точки
равномерно. Кроме того, необходимо, чтобы нормальное ускорение бы-
2
ло минимальным. Оно равняется где р - радиус кривизны траек-2
тории, или же -------, где R - радиус кривизны нормального сечения
поверхности, а <р - угол, образуемый соприкасающейся плоскостью
траектории с нормалью к поверхности.
Поскольку скорость предполагается заданной по величине и направлению, v и
R известны.
Таким образом, необходимо, чтобы cos<p = 1, т. е. чтобы соприкасающаяся
плоскость траектории была нормальна к поверхности, или, иначе говоря,
чтобы подвижная точка описывала геодезическую линию.
Теперь, чтобы показать, как можно объяснить движение систем, на которые,
как нам кажется, действуют силы, возьмем еще один простой пример с
