Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
где порядок суммирования был объяснен в конце предыдущего пункта.
Предположим теперь, что учитывается Ve. Первый член уравнения (8)
представляет с точностью до числового коэффициента постоянную площадей.
Следовательно, производная этого первого члена будет равна с точностью до
числового коэффициента моменту внешней силы. Теорема Гельмгольца далее
показывает, что интеграл
/
х' dx + у' dy + z' dz,
взятый вдоль замкнутого контура, постоянен. Этот интеграл в данном случае
равен
XI а'а J xodxo + X а' Р J xodyo + X а'Р' J Vodxo + ...
Если для замкнутой кривой выполнено соотношение
J x0dx0 = J(x0dy0 + y0dx0) = 0,
то из теоремы Гельмгольца следует уравнение
Х](а//3 - аР') = const, (9)
а также уравнения, которые выводятся при помощи симметрии.
Уравнение (9) справедливо, когда Ve не обязательно равно нулю. Чтобы
вывести (8) из (4) и (5), были необходимы сложные вычисления. Но эти
вычисления необязательны для (9), которое непосредственно вытекает из
интегрирования выражения
у>/з" = у>"/з.
II. Однородная жидкость
89
5. Уравнения (4) и (5) допускают простое частное решение. Достаточно
положить
а\ = р cosuit, аз = -psinuit, аз = О,
Pi = psinuit, P2=pcosuit, Рз = 0, (10)
" 7i = 0> 72 = 0, 7з = 0,
откуда
2 2
р2(и>2 + к) + Л = кс2 + А = 0; к = W ^
с2-р2
С другой стороны, из условия несжимаемости Д = 1, находим
р2с = 1.
Это решение применимо в случае, когда сплюснутая жидкая масса равномерно
вращается. В наших рассуждениях фигурируют рис - две главные оси
эллипсоида.
6. Решения, которые мы будем рассматривать, ненамного отличаются от
решения (10), даже если возьмем Ve ф 0 и рассмотрим уравнения (6) и (7),
которые будут допускать решения, мало отличающиеся от (10), потому что мы
полагаем Ve малым. Применим метод уравнений в вариациях, т.е. заменим ад,
аз, аз, ... на
а\ + 8а\ = pcosuit + 8а\, аз + 8аз = - psinuit + 8аз, аз + 8аз = 8а3, ...
,
и отбросим квадраты вариаций 8а\, ... Таким образом получим линейные
дифференциальные уравнения для этих вариаций 8аг, ... Эти уравнения будут
лишены второго члена, если Ve = 0, как следует из уравнений (6) и (7). В
противном случае этот член появляется.
Замечательно то, что эти линейные уравнения разделяются на две различные
группы.
Уравнения, выведенные из соотношения Д = 1 и уравнений (4) и (5) для аа",
а"Р, ар", РР" и 77", содержат только неизвестные
8ai, 8а2, 8 Pi, Sp2, 8j3, 8\.
Напротив, уравнения, выведенные из уравнений (4) и (5) для aj", а"7,
Р'у", Р"7, не содержат других неизвестных, кроме 8аз, 8Рз, <$71, 8j2-
90
О прецессии деформируемых тел
В случае, когда Ve = 0, неизвестные первой группы соответствуют решению,
которое описывает равномерное вращение, со скоростью, мало отличающейся
от и>, и собственные колебания жидкости, в которых плоскость ху остается
плоскостью симметрии. В случае, когда Ve ф 0, эти переменные описывают
приливы и отливы жидкости под влиянием возмущенного тела.
Именно неизвестные второй группы связаны с явлением нутации, их нам и
следует рассмотреть.
7. Наконец, запишем уравнение второй группы. Находим
?71 + *^72 = 8а3 + i8(33 = q.
Таким образом, вещественные и мнимые части двух неизвестных ? и q
являются нашими первоначальными неизвестными 8j и 8а. Находим
Итак, уравнения (4) и (5) можно рассматривать как уравнение в вариациях
8 cry" + iS /З'у" = 8 а" 7 + г8 (3"'у = к(^8 cry + 18 /З7 j,
и далее
^^aSj = aiS'ji + а38'у3 + ?*з^7з = pcosu>t8ji - psinu>t8j2,
и, продолжая вычислять таким образом, получим
где
также
8 а"7 + г8 (3"7 = -и;2ре!"*? + cq",
^а7" + ^5>7" = реш-
или
peiwi?" = -о?ре(tm)^ + cq" = k{peiut?, + cq").
(П)
II. Однородная жидкость
91
Уравнение Гельмгольца, которое можно вывести через вариацию уравнения (9)
и через уравнения, которые получаются с помощью симметрии, дает нам
peiatg - iuipeiwti - erf = const. (12)
Интеграл площадей можно вывести через вариацию (9) (и через уравнения,
полученные с помощью симметрии) и записать в виде
ре~ш1(г]' + iwrf) - eg = const. (13)
Дифференцирование уравнения (13) дает
ре~ш(г/ +w2ri)-cg' = 0. (14)
Если в (14) мы заменим е" и jj" на их значения, взятые из
(11),
и примем во внимание, что к(с2 - р2) = и>2р2, то это уравнение
станет
тождеством.
Если теперь принять во внимание Ve, то необходимо добавить к последнему
члену уравнения (11) величину
(d2Ve I id2Ve у
\dxodzo dyodzo)
Но так как Ve мало, мы можем в этих уточняющих членах положить
р = с = 1, 5а = 5(3 = Sj = 0,
откуда
X = Xq COS U)t + Уо sin U>t, у = -Xo sirnot + Уо COSUlt, Z = Zo,
и, наконец,
dF ¦dF = (dF -dF\ iut
dx о dyo \ dx dy) '
так что член, добавляемый к последнему члену уравнения (11) представляет
собой
92
О прецессии деформируемых тел
Если жидкость перемещается как твердое тело, то Y1 %2 должно быть
независимым от времени и, следовательно, равным своему значению для
решения (10), т. е. мы получим ^2 х2 = р2(х% + у2) + (?z\. Отсюда выводим
^2 cry = ^2 Pj = 0,
ИЛИ
5 ^2 а'у + гб ^2 /37 = 0,
ИЛИ
регш1^ + ер = 0. (16)
