Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
что, например, X*. задает преобразование Xi как функции от х, мало
отличающееся от ж". Запишем уравнения структуры группы в виде
XiXj. Xj.Xi - ^ ) CiksXs
1См. стр. 72 этого сборника. - Прим. перев.
2См. примечание на стр. 72. - Прим. перев.
78
О прецессии деформируемых тел
где Cika являются постоянными. Смысл этих обозначений хорошо известен
тем, кто знаком с работами Ли. Если, к примеру,
XiXk - XkXi = о,
это означает, что два преобразования X; и X/. перестановочны.
Положим, что в момент времени dt переменные Xi меняются на Xi + dt, т. е.
они подвергаются бесконечно малому преобразованию
dt(r) 1X1 + TJ2X2 + ... + T]rXr).
Пусть Т - кинетическая энергия системы, a U - потенциальная. Т будет
функцией от х и от г), a U - функцией от х. Зададим теперь для X,
виртуальные приращения Это приведет к бесконечно малому преобразованию
и)1Х1 + Ш2Х2 + ... + шгХг, где введены ш,. Определим ведичины Cl, при
помощи тождества
Для введенных обозначений указанная теорема утверждает, что уравнения
движения можно представить в следующей форме (которая содержит как
частный случай уравнения Лагранжа и уравнения Эйлера для вращения твердых
тел):
d dT _ dT . п /кч
dtdr/s ~^Cskidmm+i}s' (5)
Именно эту формулу уместно употребить в рассматриваемом нами случае. Мы
имеем шесть степеней свободы1, 6 возможных бесконечно малых
преобразований представляют собой:
1° вращение полного тела вокруг одной из осей эллипсоида;
2° простое движение жидкости, соответствующее вращению сферы S вокруг
одной из осей эллипсоида, оставляющее твердую мантию
*В современной терминологии для гамильтоновых систем. В данном случае
система описывается шестью фазовыми переменными, а имеет лишь две степени
свободы (см., например, Борисов А. В., Мамаев И. С. "Пуассоновы структуры
и алгебры Ли в гамильтоновой механике".)
I. Твердая мантия и жидкое ядро
79
неподвижной. Пусть X, Y, Z, Х±, У), Z± - шесть указанных преобразований.
Правила композиции вращений дают нам уравнения структуры группы:
XY - YX = Z, X1Y1-Y1X1 = -Zu YZ - ZY = X, Y\Z\ - Z{Y\ = -Xi,
ZX - X Z = Y, Z{Y\ - X\Z\ = -Yi
С другой стороны, каждое из преобразований X, Y, Z перестановочно с
преобразованиями Xi, Y±, Z\. Теперь понятно, что все постоянные с равны
0, +1, или -1.
В промежуток времени dt твердая мантия подвергается бесконечно малому
вращению, составляющими которого являются pdt, qdt, г dt. При этом сфера
S подвергается вращению по отношению к твердой мантии, и компонентами
этого вращения являются p±dt, q±dt, ridt таким образом, что наши
переменные претерпевают бесконечно малое преобразование
dt(pX + qY + rZ +Р1Х1 + qiYi + riZi),
которое показывает, что г] - не что иное как р, q, г, pi, qi, r±.
Поскольку Т зависит только от tj, имеем
-Ef ¦** = !>¦
Это означает, что ^ ?1и> представляет собой виртуальную работу внешних
сил при очень малом перемещении системы. Следовательно, три первых 12
являются моментами внешних сил. Что же касается последних трех, то они
равны 0, т. к. преобразования Х\, Y±, Zi не производят никакой работы.
Применение формулы (5) приводит нас также к уравнениям (3) и (4).
5. Те же самые уравнения можно вывести другим способом. Уравнение (3)
- это не что иное как интеграл площадей. Действительно, вращательный
момент имеет следующие составляющие (на три подвижные оси):
dT dT dT
dp ' dq' dr '
а уравнение (3) выражает то, что абсолютная скорость конца этого вектора
равна по величине и направлению моменту внешних сил.
80
О прецессии деформируемых тел
Что касается уравнения (4), то оно является следствием теоремы
Гельмгольца о вихрях. Интеграл Гельмгольца
/
(и dx + v dy + w dz),
взятый по некоторому плоскому диаметральному сечению эллипсоида с
точностью до постоянного множителя представляет собой
cos а + cos /3 + cos 7,
dpi dq± ar\
где а, /3, 7 - направляющие косинусы нормали к плоскости большого круга
сферы S, который соответствует рассматриваемому диаметральному сечению.
Чтобы в этом убедиться, достаточно обратиться к уравнениям (1) и (2).
Таким образом, теорема Гельмгольца показывает, что
J/T1 1ГГ1 1Т
вектор ^- неизменно связан со сферой S, что как раз точно
dp 1 aqi ari
выражается уравнением (4).
6. Если воспользоваться выражением для Т, то можно записать уравнения
(3) и (4) в виде
Ар' + Ахр'х + r(Bq + B[qi) - q(Cr + С[п) = -L, (6)
Ахр' + Ахр'х - rx(B'xq + Bxqx) + qi(C[r + Cxn) = 0 (7)
вместе с уравнениями, которые получаются циклической перестановкой. Здесь
р' и р'г являются производными от р и рх по времени.
Первое следствие этих уравнений таково, что если твердую мантию
удерживать неподвижной, то внутреннее движение жидкости будет следовать
законам движения Пуансо1.
Если предположить, что внешние силы отсутствуют,
L = М = N = 0,
то нетрудно найти следующие интегралы
Т = const, =const> =const- (8)
1 Имеется в виду свободное движение твердого тела вокруг неподвижной
точки - задача Эйлера - Пуансо.
I. Твердая мантия и жидкое ядро
81
Если внутренняя полость предполагается сферической, то имеем
