Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
8. Потенциал Ve - известная функция координат притягиваемой точки х,
у, z и времени, потому что координаты небесного тела заданы известными
функциями времени. Следовательно, выражение (15) - известная функция
времени. Она может быть разложена в ряд Фурье. Периоды различных членов в
d2Ve . d2Ve
dxdz+tdydz ^ ^
относительно длинные, поскольку это периоды разных нутаций.
Значит, если обозначить через Аеге* один из членов разложения
в (17)
и, следовательно, через -Aet^+^t соответствующий член разложения в (15),
то е будет мало по сравнению с ш.
Можно выделить этот член, и тогда уравнения (11) будут выглядеть
следующим образом
Гk(peiut? + сц) - peiutC = Ае^ш+Е^, , .
\ш2реш1?> - сц" + pelb}it= 0.
Мы удовлетворим (18), если положим
= aeiw\ сц = Ье*ш+е*,
что приводит к уравнениям
Г а(к + е2) +Ьк = А,
\а(ш2 -е2) +Ъ(ш + е)2 =0.
(19)
II. Однородная жидкость
93
Детерминант уравнений (19) равен
Д = (2 к + ш + е2)е(ш + е).
Для того, чтобы получить собственное колебание системы, необходимо
положить Д = 0 и найти решение для е, а и /3. Таким образом, допустим,
что Д = 0, это равенство ведет к следующим решениям:
1° е = 0 соответствует равномерному вращению с угловой скоростью и>
вокруг оси, мало отличающейся от оси z;
2° и> + е = 0 соответствует следующей гипотезе: предположим, что перед
тем как придать жидкости равномерное вращение вокруг оси z, мы
переместили небольшое количество частиц внутрь жидкости, не изменяя ее
внешнюю форму. Это решение будет мало отличаться от решения (10),
соответствующее тому же вращению как по величине, так и по направлению,
той же сплюснутости, той же ориентации осей эллипсоида. Одним словом, от
решения (10) оно будет отличаться лишь тем, что некоторые (определенные)
частицы поменялись местами с другими.
3° 2к + ?oj + е2 = 0 соответствует собственным колебаниям очень короткого
периода, немного больше одного часа.
Теперь, если мы хотим учесть действие небесного тела, мы более не будем
полагать А = 0, в результате получим
А(ш + е)2 А(ш + е) а = -
Ь= -
Д е(2к + ?Ш + ?2) ' А(ш2 - ?2) А(ш - е)
е(2к + ?ui + ? )
Согласно нашей гипотезе, е по отношению к и> очень мало, а
к
имеет порядок сплюснутости. Следовательно, можно пренебречь величиной е,
стоящей перед и> и еи> + е2 перед 2к, что дает
Аи> 1 Аи>
о = ---,
2 ке 2 ке
откуда
а + b = 0.
Однако соотношение а + b = 0 эквивалентно соотношению (16). Оно означает,
что жидкость ведет себя как твердое тело.
94
О прецессии деформируемых тел
9. Этот результат может быть получен иначе. Запишем уравнение
площадей, которое представляет собой не что иное как уравнение (13), в
случае Ve = 0. Если Ve ф 0, то мы вынуждены написать, что производная
постоянной площадей равна моменту внешних сил. Итак, первый член в
уравнении (13) с точностью до числового коэффициента равен отношению
постоянной площадей к площади в плоскости ху плюс мнимая единица %/-1,
умноженная на отношение постоянной площадей к площади в плоскости yz.
Следовательно, производная этого первого члена, т. е. первый член
уравнения (14), должна быть равна М + iL, где L и М с точностью до
числового коэффициента являются моментами внешних сил относительно осей х
и у. Таким образом, получим
pe~iut(rj" + uj2ti) - с?" = М + iN. (14 bis)
Второй член может быть разложен в ряд Фурье. Пусть Belst - один из его
членов. Отделим этот член и запишем уравнение
pe~iut{ri" + co2rj) - ci" = Bei?t. (14 ter)
Это уравнение справедливо как для твердого тела, так и для жидкости. В
случае жидкости, это уравнение должно быть дополнено уравнением
Гельмгольца, т. е. вторым уравнением (18), а в случае твердого тела -
уравнением (16). Таким образом, находим
^г\ш2 - (ш + е)2] + ^е2 = В (жидкость или твердое тело),
С fJ
а(и> - е) + Ь(ш + е) = 0 (жидкость),
а + Ь = 0 (твердое тело).
Таким образом, при условии что е мало по отношению к ш, из двух последних
уравнений следует, что твердое и жидкое тела будут вести себя практически
одинаково. Этот анализ движений однородной жидкости близок к анализу,
проделанному мной в VII томе "Acta mathematica", начиная с 347 страницы.
Из этого анализа следует, что колебания эллипсоида могут быть разделены
на части, отдельно поддающиеся изучению. В каждую из таких частей входят
только функции Ламе определенного порядка. Движения, которые мы здесь
рассмотрели, соответствуют функциям Ламе первого порядка.
III. Гиростатическая жесткость
95
III. Гиростатическая жесткость
1. Рассмотрим теперь, что происходит в случае неоднородной жидкости.
Уравнения гидродинамики имеют вид
^ х" dx = ^ - dVi - dVe, (1)
как следует из параграфа II. Обозначим через D плотность жидкости,
которую нельзя больше принимать за единицу, поскольку жидкость
неоднородна. Частное решение - это решение, когда жидкость освобождена от
всяческого внешнего действия и совершает равномерное вращение с угловой
скоростью и> вокруг оси z. В этом случае имеем Ve = 0. Отметим индексом 1
буквы, относящиеся к этому решению, и запишем следующее уравнение
