Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пуанкаре А. -> "Последние работы" -> 37

Последние работы - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Последние работы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 208 c.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка): poslednieraboti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 71 >> Следующая

третьего параграфа следующим образом: обратимся к случаю с жидкостью и
воспользуемся уравнением (1) второго параграфа. Пусть х, у, z - значения
координат, которые соответствуют решению (10) этих уравнений; х + и, у +
v, у + w - значения, которые соответствуют решению, подробно
рассмотренному в п. 16 этого же параграфа. Получим
х + iy = р(х о + iyo)e~lu,t, z = czq, и + iv = ?zo, w = 9\t](xo - %o)-
Отсюда находим
^xu = Щр?егш* + Cij){x0 - iy0)z0.
По аналогии, установим также, что
^хи = VK(pi+ сгц){хо - iy0)z0. (3)
Отметим, что это уравнение действительно представляет два соотношения
между действительными и мнимыми частями ?1 и щ, так как коэффициенты при
XgZg и y0zо должны быть тождественны в двух указанных выражениях и наше
уравнение примет вид
Щр?ielu,t + crji)(x0 - iy0)z0 = (r2$K + 2S)!Hwz0(x0 - iy0),
IV. Воздействие упругости
109
откуда
p?ie,ut + сщ = Хш, (4)
где
л = r2m + 2S
должна быть рассмотрена как заданная постоянная. Действительно, уравнения
упругости позволяют нам определить функции R и S, и в этих функциях для г
следует задать значение, которое соответствует внутренней свободной
поверхности, мало отличающейся от сферы.
Перейдем к третьему уравнению (13) из третьего параграфа. Оно показывает,
что внутренняя свободная поверхность мантии совпадает с внешней свободной
поверхностью жидкого ядра. То же самое условие в данном случае имеет вид
^2 хи = Щсегш1? + рг])(х0 - iy0)z0, где можно взять р = с, поскольку мы
пренебрегаем сплюснутостью,
1 + сгц) = 9\(peiwt? + су). (5)
Тем самым мы окончательно определяем и щ. Полагая, что хо = Уо = 0, Zq =
1, мы имеем
и + w = z0.
Легко видеть, что четвертое уравнение Гельмгольца остается неизменным.
Таким образом видно, что деформации твердой мантии зависят только от
четырех произвольных постоянных. За них можно принять действительные и
мнимые части ?i и щ.
Можно выбрать другую систему координат, выбирая ось z таким образом,
чтобы новая ось х образовала с предыдущей осью угол ip. Это сводится к
преобразованию Хо~гу0 ь-" (жо - гу0)е~г'р, u + iv ь-" (u + iv)etv и,
следовательно, ?, у, ?i, щ ь-" ?ег<р, уег<р, iiclip, rjiellp.
Уравнение площадей определяет линейное соотношение между ?, у, ?i, yi, их
мнимыми сопряженными величинами ?°, у0, уJ и их про-
изводными. Но эти уравнения сохраняются в новой системе координат, то
есть при замене ?, у, ?i, yi, ?°, у0, у° в ?е11р, yeltp. ?iel<p,
yielv>,
, y°e~l<p, ?ie~l(p, y^e-19. Первое слагаемое можно разделить на
110
О прецессии деформируемых тел
две части: первая умножается на e*v, вторая - на e~tv, и, т.к. равенство
выполняется при произвольном tp, то каждая из этих двух частей должна
равняться нулю. Таким образом, приравняем к нулю первую часть, зависящую
только от С, г], Ci, щ, и получим уравнение площадей в виде
v, 6, m) = о,
первый член которого линеен по переменным С, г], Ci, щ и их производным.
Из уравнений (2) и (4) получаем уравнение упругости
реш& + сщ + A к(реш? + eq) + А реш?" = 0,
последнее уравнение (13) третьего параграфа, остается справедливым без
изменений
LU2peiu,it - сг)" + peiu,tC = 0, и последнее уравнение
ре*"*(С - Ci) + с(г] - гц) = 0
получается из уравнения (5).
Если положить, как в третьем параграфе,
pi = aeiet, cq = bei{"+e)t, p^=aieiEt, eq 1=b1ei{"+^t, (6)
то получим
Ао, T T Bb T Bib± = 0,
\(k T ?2)u T fti T Xkb T b\ = 0,
< (14 bis)
a - a\ + b - b\ = 0,
_ a(w2 - e2) + b(w + e)2 = 0,
где A, A±, B, Bi - функции от e. Чтобы найти эти функции, отметим, что
F(C, q, Ci; щ) определяет не постоянную площадей, а ее производную по
времени. Если Ф(С, q, Ci; Vi) представляет эту постоянную, то, заменяя на
С и tj их значениями (1), получим
Ф(С, V, 6, rn) = (А'а + Aiai + В'Ь + В[Ъг)еш,
где А', ... целые многочлены от е. Продифференцировав это выражение по
времени, имеем
F(C, q, Ci, щ) = ге(А'а + А[аi + В'Ь + B'xby)eiet,
IV. Воздействие упругости
111
и, следовательно, справедливы равенства
А = ieA', А\ = ieA'i, В = ieB', В\ = ieB[,
показывающие, что А, А±, В, Вi делится на е. Следовательно, детерминант
уравнений (14 bis) равен нулю при е = 0, и имеется резонанс. Это нам уже
известно. Остается определить является этот резонанс простым или двойным.
Для этого первую строку (14 bis) разделим на ie и положим е = 0. В
результате получаем детерминант вида
А' А[ В' В[
Хк 1 Afc 1 1 -1 1 -1 ' сп2 0 сп2 0
Данный детерминант обращается в ноль при р1 = с2, следовательно, он очень
мал при р2, близком к с2. Действительно, рассмотрим матрицу, состоящую из
трех последних строк детерминанта. Если с2 = р2, то столбцы 1 и 3 этой
матрицы будут совпадать, и аналогично столбцы 2 и 4. Следовательно,
детерминант равен нулю. ¦
Таким образом, имеется двойной резонанс, следовательно, амплитуда нутаций
будет значительно отличаться от аналогичной амплитуды для твердого тела.
ОБ ОДНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЕ
Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1912, 33, 375-507
§ 1. Введение
Никогда до сих пор я не выступал в печати с настолько незаконченной
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed