Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
имеется только твердая мантия.
Вначале лорд Кельвин полагал, что при очень малом сплющивании результат
не может заметно измениться, но, поразмыслив над этим вопросом, он
осознал свою ошибку. Из-за эффекта, который он назвал гиростатической
жесткостью, рассмотренное им сложное(жидкое) тело стремится вести себя
как твердое. Эта жесткость проявляется более явно, если период прецессии,
выраженный в днях, очень велик по сравнению с величиной, обратной
сплющиванию. Ее можно было бы обнаружить и тем самым подтвердить
теоретические рассуждения, но дело обстоит совсем иначе для нутации
Брэдли, период которой превышает величину, обратную сплющиванию, не
более, чем в 23 раза,
I. Твердая мантия и жидкое ядро
75
ни, a fortiori, для полумесячных и полугодовых нутаций, чьи периоды
меньше этой величины. Эти различия должны быть более существенными, чтобы
обнаружится при наблюдениях.
2. Прежде чем идти дальше, будет небесполезно показать, как можно
представить теорию Кельвина в новом и более простом виде. Для начала я
введу термин простое движение. Так, я буду говорить, что движение
жидкости простое, если компоненты скорости каждой частицы жидкости
являются линейными функциями координат. Основываясь на теории вихрей
Гельмгольца, легко установить, что если движение является простым в
начальный момент времени, то оно всегда остается таковым, при условии,
что жидкость целиком заполняет эллипсоидальный сосуд, даже если этот
сосуд перемещается или деформируется, но всегда остается эллипсоидальным.
Это позволяет нам рассматривать далее только простые движения. Пусть
уравнение
ах2 + by2 + cz2 = 1
задает эллипсоид в главных осях, который для начала будем считать
постоянным.
Частице жидкости х, у, z, скорость которой и, v, w, поставим в
соответствие фиктивную частицу с координатами
х' = хл/а, у' = yVb, z' = zyfc
и скоростью
и' = иу/а, v' = vVb, w' = wyfc.
Совокупность фиктивных частиц заполняет сферу S, уравнение которой: х'2 +
у'2 + z'2 = 1. Нетрудно видеть, что если движение жидкости простое, то
эти фиктивные частицы будут перемещаться как частицы твердого тела. Таким
образом, вопрос сводится к изучению вращения сферы S. Пусть pi, qi, r± -
компоненты ее угловой скорости. Получим
76
О прецессии деформируемых тел
До сих пор мы предполагали, что эллипсоид неподвижен. Теперь предположим,
что этот эллипсоид является недеформируемым, но подвижным. Эти же формулы
описывают относительное движение жидкости по отношению к твердой мантии.
Для того, чтобы получить абсолютное движение, необходимо учесть
переносное движение, которое сводится к вращению твердой мантии и
подвижных осей. Пусть р, q, г - проекции угловой скорости данного
вращения на подвижные оси. Для абсолютных скоростей получаем
где подвижные оси являются главными осями эллипсоида.
3. Легко вычислить кинетическую энергию1 относительного движения. Она
равна
и аналогичные выражения для Bi и С\\ d - плотность жидкости.
Аналогично определенные величины A[pi, B[qi, С [г i, являющиеся тремя
составляющими вращательного момента2 относительного движения, где
Очевидно, что если сплюснутость очень мала, то имеем А\ = А[ с точностью
до членов порядка не более, чем квадрат сплюснутости.
Что касается кинетической энергии переносного движения, то она равна
ХВ оригинале la force vive - живая сила, устаревший термин для
кинетической энергии. - Прим. перев.
2Кинетический момент в современной терминологии. - Прим. перев.
(1)
А\р\ + Biq2 + Cir2),
где
? _ 8ird 1 1
15 Л/аЬс \fbc
\{Ар2 +Bq2 +Сг2),
I. Твердая мантия и жидкое ядро
77
где А, В, С - три момента инерции полного тела (твердая мантия и
содержащаяся в ней жидкость).
Тогда кинетическая энергия абсолютного движения имеет вид
Т = т) 53 Ар2 + 53 A[ppi + ^ 53 Aipl- (2)
4. Уравнения движения можно записать в более простом виде:
sf(3)
dt dp i dqi dv\
причем остальные уравнения получаются циклической перестановкой, L, М, N
- моменты внешней силы. Отметим, что эти уравнения обладают на первый
взгляд озадачивающим различием в знаках.
В уравнении (3) второе слагаемое имеет знак "+", а третье - знак "-". В
уравнении (4) все наоборот. Это очень легко объяснить. Угловая скорость
р, q, г задает абсолютное вращение эллипсоида и проецируется на главные
оси эллипсоида, которые являются подвижными осями. Наоборот, угловая
скорость pi, qi, п задает относительное вращение сферы S по отношению к
эллипсоиду, она проецируется также на главные оси эллипсоида, которые
являются неподвижными для относительного вращения.
Эти уравнения можно вывести многими способами. Сошлемся лишь на два из
них: сначала будем опираться на теорему, которая была доказана в "Отчетах
Академии Наук", т. 132, с. 3691. Приведем здеь формулировку этой теоремы:
Теорема. Пусть механическая система определена системой г переменных ж*.
Рассмотрим простую транзитивную группу преобразований Ли2. Пусть Х\, Хг,
... , Хг - бесконечно малые преобразования этой группы, таким образом,
