Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
этой атмосферы последовательными приближениями. Сначала пренебрежем SP;
во втором приближении примем за SP потенциал, вызванный притяжением
атмосферы, ограниченной поверхностью, которая была вычислена в первом
приближении и т. д. Предельная поверхность удовлетворяет условию в первом
приближении и, как только
60
Заметки о гипотезе Лапласа
что было показано, если она удовлетворяет условию в п-м приближении, то
она будет удовлетворять ему и в (п + 1)-м приближении. Следовательно, она
также будет удовлетворять этому условию и во всех последующих
приближениях.
Можно возразить, что знания свободной поверхности будет недостаточно для
определения SP, и так как плотность атмосферы является переменной,
необходимо знать все поверхности одинаковой плотности, то есть все
поверхности, где w = const. Но все эти поверхности будут удовлетворять
вышеизложенному условию в первом приближении, и так же проверяется, что
если они удовлетворяют ему в п-м приближении, то они будут удовлетворять
ему и в (п + 1)-м приближении.
Таким образом заключаем, что поверхность (3) пересекается любой прямой,
параллельной оси х, не более чем в двух точках, симметричных относительно
экваториальной плоскости х = 0.
Чтобы изучить эту поверхность, или скорее ее меридианальное сечение,
достаточно изучить вариацию выражения
<Р(У)~Р(У), (4)
т. е. первого члена уравнения (3), где х = z = 0. Если
<р(уо) ~ Р(уо) > С,
то поверхность (3) пересекает прямую у = z = Zo в двух точках, и они не
пересекаются, если
<р(Уо) ~ Р(уо) < С.
Если наша атмосфера не простирается бесконечно, то выражение (4) для
очень большого у должно быть меньше, чем С; оно бесконечно для у = 0,
потому что Щ- = = +оо. Необходимо рассмотреть
последовательные максимумы и минимумы выражения (4). Одним из самых
простых является случай, где выражение (4) при уменьшении у от +оо до 0
сначала растет, достигнув максимума при у = уо, затем уменьшается,
достигнув минимума для у = у\, и затем снова растет до бесконечности.
Обозначим через Со максимум, а через С\ минимум. Если возьмем С = Ci, то
меридианальная кривая, симметричная относительно
Заметки о гипотезе Лапласа
61
двух осей, имеет две двойных точки, как показано на рисунке. Двойные
точки А и А' имеют координаты
х = z = 0, у = ±2/1, а точки В и В1 имеют координаты
х - z - 0, у - ±2/0
и соответствуют максимуму выражения (4).
Если вращать меридианальную кривую вокруг оси х, то она заметет
поверхность вращения с двойной кривой. Видно, что кольцо, заметенное AM С
и А'М'С стремится к тому, чтобы отделиться от центральной массы,
заметенной ANA'N'.
Если бы мы сначала пренебрегли SP, то мы имели бы
т>( \ М ~Р(У) = ~у-
Для того, чтобы выражение (4) имело минимум, необходимо для начала, чтобы
dt / D\ 2 _/И .л
т. е. чтобы оз2уэ = М. Тогда оз является угловой скоростью на круговой
орбите радиуса у, заданной третьим законом Кеплера; далее, необходимо,
чтобы
jP_ dy2
или
из2 ± 2,ujоз1 у ± -- - Ъоз2 ± 2озоз'у <С 0.
У
Это означает, что оз3у3 должно увеличиваться вместе с у. Следовательно,
все законы зависимости оз от у не допускают образования колец.
Если рассмотреть туманность с очень слабыми конвекционными токами, то
взаимное трение различных частей будет сохранять
62
Заметки о гипотезе Лапласа
равномерность вращения, из будет постоянной, из2уъ будет возрастающей
функцией, и образование колец станет возможным. Если перейти к крайней
противоположности и предположить очень мощные конвекционные токи, то в
силу принципа площадей, произведение изу2 будет стремиться к сохранению
для газообразной массы, переносимой этими токами; так как эти токи
перемешивают всю массу, функция изу2 станет постоянной. Это можно было бы
назвать адиабатическим равновесием аналогично термическому равновесию
атмосферы Земли. Если шу2 постоянна, то функция из2у3 является убывающей,
и образование колец невозможно. Следовательно, необходимо допустить, что
в туманности Лапласа конвекционные токи слишком слабы для того, чтобы
противодействовать влиянию трения и следовательно, процесс должен быть
чрезвычайно медленным.
2. Рассмотрим сейчас устойчивость образованных колец. Для того, чтобы
кольцо образовалось и осталось устойчивым, необходимо прежде всего, чтобы
свободная поверхность имела форму, указанную на рисунке и, следовательно,
чтобы соответствующий точке В максимум существовал. В точке В будем иметь
d(p-P) п d2(p-P) _
dy ~ U' dy2 < U'
Первое условие приблизительно дает из2у3 = М. Тогда найдем, каковы в
точке В вторые производные трех частей ip - р:
производная от... р Щ- -6Р
^... 0 -Ц = -из2-е' -е
dx у
dy2
dz2
из2 + 2 изиз'у 2u)2 + 2e' -iirp + e + s'
)2 -из2 - ?' -e'.
Действительно, ip не зависит от х. Ее вторые производные по у и z
выводятся непосредственно из ее определения. С другой стороны, имеется
d2 М 2М d2 М d2 М М
Заметки о гипотезе Лапласа
63
и приблизительно получаем
М 2
т =и) ¦ у3
Для строгости необходимо записать
М _ 2|1 dSP
~~ъ - ш т 77 "
