Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
X и у, то максимум мог бы быть достигнут только при
X = ж, Y = у
и можно было бы прийти к заключению, что внутри кольца существуют две
такие точки, для которых X = ж, Y = у, т. е. две инвариантных точки.
Однако это не всегда так, и максимум может иметь место и для таких точек,
для которых
что и показывает, что доказательство приложимо только к инфините-
зимальным преобразованиям.
2. Формулировка теоремы
115
Эта теорема может быть представлена и в другом виде, совершенно
эквивалентном, но в некотором роде противоположном изложенному выше.
Представим себе, что преобразование Т продолжает удовлетворять первому из
условий, но не второму, взамен этого оно удовлетворяет третьему условию.
Третье условие. Внутри всего кольца не существует инвариантных точек.
Я утверждаю, что если дело обстоит именно так, то преобразование Т не
может удовлетворять второму условию, т. е. иметь инвариантный
положительный интеграл.
Очевидно, что обе формулировки совершенно эквивалентны; если любое
преобразование, удовлетворяющее первому и третьему условиям не
удовлетворяет второму условию, то всякое преобразование, удовлетворяющее
первому и второму условиям, не может удовлетворить третьему условию; оно,
следовательно, будет иметь по крайней мере одну инвариантную точку, и,
следовательно, не менее двух таких точек, ибо Analysis situs (и, в
частности, теорема Кронекера) непосредственно показывает, что число
последних четно.
Теперь, чтобы показать, что второе условие не может быть выполнено при
выполнении первого и третьего условий, я постараюсь показать что можно
построить замкнутый контур С, обладающий следующими свойствами:
1) он охватывает внутреннюю граничную окружность х = b таким образом, что
при полном его обходе у меняется от 0 до 2ж\
2) он не пересекает свое преобразование С', так что он или целиком вне
него, или целиком внутри него.
Если это так, то кольцевая площадь, заключенная между С и х = Ь,
преобразуется в площадь, заключенную между С' и х = Ь.
Однако одна из этих площадей является частью другой. Если, например, С'
полностью находится вне С, то площадь, заключенная между С' и х = Ь,
состоит из площади, заключенной между С' и С, плюс площадь, заключенная
между С и х = Ь. Следовательно, невозможно, чтобы при преобразовании
площади сохраняли свои величины. Итак, не может быть и речи о том, чтобы
преобразование допускало положительный интегральный инвариант.
В тех попытках доказательства, которые я намерен предпринять, я буду в
основном рассматривать вторую форму теоремы, иначе говоря, я исследую тот
случай, когда преобразования удовлетворят первому и
116
Об одной геометрической теореме
третьему условиям; я классифицирую их и для каждого класса попробую
построить тот контур С, который был определен выше. Наоборот, в
приложениях удобнее будет применять теорему в ее первой форме.
§ 3. Применения теоремы
Если окажется возможным установить теорему, то это повлечет за собой
несколько немедленных обобщений.
Действительно, сперва предположим, что граничная внутренняя окружность х
= Ъ сводится к точке, тогда наше кольцо станет кругом. Если тогда на
внешней окружности х = а постоянно имеем Y > у, а вблизи центра Y < у или
наоборот; если, кроме того, преобразование допускает интегральный
инвариант, то внутри круга будет по крайней мере две точки, не
изменившиеся при преобразовании. С другой стороны, мы можем применить те
же принципы и к произвольной степени Т" преобразования Т.
Посмотрим теперь, как все это можно применить к задачам динамики в случае
двух степеней свободы. Для упрощения я рассмотрю, в частности, простейшую
из этих задач - проблему геодезических линий на выпуклой поверхности (по
этому вопросу я написал мемуар1). Нам нужно сперва найти подходящее для
нашего объекта геометрическое представление; определим то, что будем
называть элементом, и постараемся каждому из этих элементов поставить в
соответствие точку пространства. Элементом будет совокупность одной
геодезической линии и одной точки этой геодезической линии. Одну и ту же
геодезическую кривую следует рассматривать как две различные
геодезические линии, в зависимости от того, в каком направлении она
пробегается. Каждому элементу соответствует триэдр, определенный
следующим образом: сперва проведем к поверхности в рассматриваемой точке
нормаль, причем извне; затем проведем касательную к геодезической линии,
в том направлении, в котором последняя пробегается; наконец, проведем к
этим двум прямым перпендикуляр, также имеющий определенное направление.
Перенесем затем при помощи поступательного движения наш прямоугольный
триэдр так, чтобы его вершина совпала с началом. Таким образом, каждому
прямоугольному триэдру с вер-
*0 геодезических линиях на выпуклых поверхностях (см. Избранные труды.
III. М.: Наука, 1974). - Прим. ред.
3. Применения теоремы
117
шиной в начале соответствует один и только один элемент; так как
поверхность выпуклая, то имеются только две точки, в которых касательная
