Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
где g и gi - периодические функции и. Если мы заменим v и w их
значениями, то получим
р sin(# + h) + р\ cos(# + h) = О,
где р и pi - новые периодические функции от и. Если положим
то Л будет функцией от и, производная которой является периодической и
которая не может отличаться от периодической функции от и более, чем на
число, кратное и, которое я обозначу гаи, тогда наше уравнение примет вид
sin (в + Л + h) = 0.
Итак, мы получим последовательные точки пересечения С± и А, написав, что
этот синус равен нулю; аргумент синуса должен быть кратным 7г; но следует
отметить, что поверхность А ограничена Со и не простирается вне этой
кривой; следовательно, подходят только четные кратные, и надо написать,
что
в + \ + b = 2v - 7Г.
Если теперь Р и Р' будут двумя последовательными точками пересечения и в,
А и в', Л' - соответствующими значениями в и Л, то получим
(в' + Л') - (в + Л) = 2тг.
Следует заметить, что в + Л - постоянно возрастающая функция от и;
действительно, для очень малых v и w можно написать, что
F(u, v, w) = R sin(# + Л + h),
где R = л/p2 + pi есть периодическая функция от и. Тогда пересечения Ci с
А можно получить, приравняв F нулю, а соприкосновения С\ с А, записав,
что
F = F' = 0,
3. Применения теоремы
123
где F' производная от F по щ это дает соотношения
F = R sin(# + Л + К) =0,
F' = R' sin(# + Л + h) + R{9' + A') cos(# + Л + h) = 0.
Если бы имело место в' + Л' = 0, то можно было взять h = в - А,
и условия оказались бы выполненными. Однако это невозможно, так как
поверхность А, по предположению, без контакта. Производная от в+\ не
может, следовательно, стать нулем, и в+\ постоянно изменяется в одном и
том же направлении; при этом всегда можно сделать так, чтобы было
возрастание.
д I л
Функция a_i_m может быть названа приведенным аргументом, если несколько
обобщить это понятие. Величина а + т отличается от а лишь на целое число
Х(и + 27г) - Х(и)
т= ---------27Г--------'
которое для обоих выбранных примеров оказывается равным нулю. Приведенный
аргумент после каждого полного оборота по Со возрастает на 27Г, и так как
это возрастающая функция от и, то ее можно использовать для определения
положения точки на Со; если Р очень близко к Со, то приведенный аргумент
Р отличается от приведенного аргумента своего преобразования Р' на ^ ^т-
Установив это, мы можем уподобить поверхность поверхности круга с точки
зрения Analysis situs. Мы можем, следовательно, определить положение
точки этой поверхности с помощью системы координат х и у, аналогичных
полярным координатам, таким образом, чтобы уравнение кривой Со было
х = а
и чтобы на этой кривой у было равно приведенному аргументу. Наше
преобразование Т сохраняет, следовательно, кривую х = а и оказывается
таким, что
2тг
Y - у = -¦ = const.
а а + m
Теорема Кронекера учит нас в этом случае, что внутри А имеется нечетное
число точек, не изменяемых преобразованием; каждой из этих
124
Об одной геометрической теореме
точек соответствует периодическая траектория; по крайней мере, одна из
этих траекторий устойчива.
Пусть Ро будет соответствующей точкой; мы можем выбрать нашу координатную
систему так, чтобы эта точка соответствовала полюсу
х = 0.
Преобразование Т сохраняет, таким образом, не только окружность х=а, но
также и внутреннюю граничную окружность х = 0, которая оказывается
сведенной к точке.
Пусть Cq - та замкнутая кривая С, которая проходит через Ро; введем
систему координат и', v', w', которая будет для Cq тем, чем для С0 была
система и, v, w. Предположим, кроме того, что в этой системе уравнением А
будет и' = 0. Это сделать мы можем, но лишь при условии, что откажемся от
первого предположения, сделанного по поводу и, v, w (а именно, что точка
геодезической линии или траектории не меняется, меняется лишь направление
касательной при условии изменения w, тогда как и и" остаются
постоянными). Сказать по правде, это предположение не играет никакой
существенной роли, и мы приняли его лишь с целью облегчить формулировку
определения кинетических фокусов. При этих условиях уравнения некоторой
кривой С, близкой к Cq, будут
- = р sin(0' + h'), = р\ sin(#' + h') + p'2 cos(0' + h'),
a a
и мы получим
0' = j3u' + <р'(и),
где (р' периодическая; i (3 - характеристический показатель. Таким
образом, при возрастании и' на 27т в' возрастает на 2тг (3. Мы можем
выбрать координатную систему х, у таким образом, чтобы в непосредственной
близости от Р0, т. е. при очень малом х, с достаточной точностью
соблюдались соотношения
V1 I • w' I • I
-тр = р sin у, - = р sin у + р2 cos у,
причем для р', р[, р2 берутся значения, которые они принимают при и' = 0.
3. Применения теоремы
125
Итак, когда и' увеличится на 27т, т. е. когда мы перейдем от точки Р к
точке р', у = в' + Ы возрастет на 2/3 ж, или, точнее (так как у
определяется до кратного 27т), станет равным 2ж((3 + п), где п - целое
число; тогда мы получим
Сперва может показаться, что целое число п является произвольным, в
