Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Для- интегрирования уравнений движения перейдем к эллиптическим
координатам
?=I(,i + ,-2)5 n=^-(r2-ri), (2.10.4)
L ~
123
откуда
сх = ?rj, су = \/(?2 -с2)(с2 - П2), >2 = ?2 + г?2-с2.
(2.10.5)
Гамильтониан (2.10.1) теперь принимает вид
1 1 , , , , , , к% + к'ц
Я= - -5-у {"2-с2)р +(с2-П2)р2 ) "7. (2Л0.6)
2 Г-i? Г-П
где
A:=ai + a2, к' = а1 - а2- (2.10.7)
Интегрируя уравнения движения методом разделения переменных, получаем
d% dr\
= ds, dt- (? - ц )ds, (2.10.8)
(2Л0.9)
\Щ)
где
R = 2($2-c2)(ES2 + kt + i),
S- -2(c2 - ri2)(Eri2 - к'т] + у).
Интегрируя уравнения (2.10.8), получаем выражения для ?(s) иг?($) через
эллиптические функции.
Подробное качественное исследование этого движения можно найти в книге
[38].
Глава 3
МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ
В этой части работы будут рассмотрены вполне интегрируемые системы п
взаимодействующих частиц в стандартном конфигурационном пространстве IRd.
Такие системы описываются гамильтонианом
Я=- 2 pf+g2 2 v(q,--qk), P/,?kG[Rd.
2 /= l j<k '
В пространстве двух и большего числа измерений известна лишь одна вполне
интегрируемая система такого типа - система п взаимодействующих
осцилляторов:
u(<7)=-coV.
Эта система, однако, после введения координат Якоби сводится к системе (и
-1) частицы, движущейся независимо в общем осцилляторном потенциале.
Для одномерного случая, т.е. для случая п попарно взаимодействующих
частиц на прямой, в последние годы обнаружен ряд вполне интегрируемых
систем, которые и будут детально рассмотрены в настоящем разделе. Все эти
системы связаны с алгебрами Ли и обладают высокой скрытой симметрией. Эта
симметрия и является причиной их интегрируемости. В изложении материала
мы следуем работам [28, 42,43,60].
3.1. Представление Лакса для многочастичных систем
Рассмотрим систему п частиц единичной массы, находящихся на прямой и
взаимодействующих попарно друг с другом. Такая система описывается
гамильтонианом
Я= 2 pj + g2 2 (3.1.1)
2 / = 1 / < к
Попробуем подобрать потенциал v(q) так, чтобы рассматриваемая система
обладала дополнительными интегралами движения. Воспользуемся для этого,
следуя работам [252, 133], приемом Лакса [233], часто называемым также
методом изоспектральной деформации.
Именно, предположим, что нам удалось найти пару матриц/, иМ, зависящих от
динамических переменныхр иq (так называемую пару Лакса),
125
так что уравнения Гамильтона
(3.1.2)
эквивалентны матричному уравнению
it = [M,L].
(3.1.3)
Такую форму записи уравнений движения мы будем называть представлением
Лакса (см. раздел 1.10).
Из (3.1.3) следует, что матрица L(t) подвергается преобразованию подобия
Если при этом Л/ эрмитова, то матрица и унитарна: и-1 = и+.
Следовательно, собственные значения матрицы L(t) от времени не зависят,
т.е. являются интегралами движения; или, иными словами, матрица L(i) с
течением времени испытывает изоспектральную деформацию. При этом в
качестве интегралов движения часто бывает удобно использовать не
собственные значения матрицы L(t), а симметрические функции от них,
например величины
Если с помощью такого приема удается найти п функционально независимых
интегралов движения и показать, что все они находятся в инволюции, то
рассматриваемая система является вполне интегрируемой. Следуя [133], для
матриц/, иМ используем следующий анзац:
гдех(^),;у(^), z(q) - три пока неизвестные функции.
Подставляя L и М в уравнение Лакса (3.1.3) и требуя, чтобы это уравнение
было эквивалентно уравнениям Гамильтона, получим явное выражение функции
jy (<7)
Функциональное уравнение (3.1.9) было решено в ряде работ [101, 255,134],
см. Приложение Б.
Оказывается, что
L(t)= и(г)/,(0)и_1(0, Л/=гмм-1.
(3.1.4)
/k = *-1tr(Ik).
(3.1.5)
Ljk = Pj bjk + 'g( 1 - 5 jk)x (д. -qk),
Mjk = g[6jk( ^ '*(?/ - ?/))-(! - bjk)yiflj ~ ?*)],
(3.1.7)
(3.1.6)
y(q)= -x'iq)
(3.1.8)
и функциональное уравнение для функций* (?) и z(?)
^ (?)•*'О?) -x(ri)x'(?) = x(? + ri)\z(?)~ z(г?)]-
(3.1.9)
При этом потенциальная энергия и(?) дается формулой ц(?)= -*(?)•*(-?) +
const.
(3.1.10)
При дополнительном предположении х(-?) = - *(?) мы получаем следующие
решения:
*") =
Г1
acth(a?), a[sh(a?)]_1 actg(a?), a[sm(af)]-1' cn (д?) dn(a?) д
sn(a?) sn(a?) sn(a?)
I,
II,
III,
IV,
(3.1.12)
Здесь sn, cn и dn - эллиптические функции Якоби [4].
Если не накладывать условие* (-?) = -* (?), то можно получить более общее
решение [85]
ст(? -а)
* & а)= -ехр(?(а) ?)
(3.1.13)
ст(а)ст(c)
(а и f - сигма- и дзета-функции Вейерштрасса), зависящее от
дополнительного параметра, но приводящее к той же самой потенциальной
энергии д(?).
Из (3.1.12) получаем выражение для потенциальной энергии д(?):
ь-2
и(0 =
Г
a2sh_2(a?), а2 sin_2(a?), a23V?)
I,
II,
III,
IV,
(3.1.14)
Здесь ^(?) = ^(?, coi, со2) - функция Вейерштрасса - двоякопериодическая
функция комплексной переменной ? с периодами 2o>i и 2со2, обладающая
полюсом второго порядка в точках 2(mcoi + псо2) [4].
Отметим, что если устремить один из периодов к бесконечности, то мы
