Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
x(t) определено формулой (3.3.3). Тогда кривая x(t) является
геодезической х = 0.
Нетрудно доказать, что матрицы L и М, определяемые формулами
(3.1.6) и (3.1.7), для систем типа I с v(q) =q~2 удовлетворяют
(3.3.6). Мы должны теперь охарактеризовать соответствующие геодезические.
Предполагая без потери общности, что матрица Ъ диагональна и,
следовательно, и(0)=/, получаем
¦в =1(0), b = Q(0). (3.3.9)
135
Заметим, что соответствующая матрица момента количества движения
р = i[x,x] =/ [b,a\ - е(r) е -1, е = (1,...,1) (3.3.10)
имеет очень специальный вид; (и - 1) собственных значений этой матрицы
совпадают друг с другом. Это является характеристическим свойством
геодезических, которые проектируются в траектории системы типа I.
Итак, мы получили окончательный результат: координаты q/(t) - решения
уравнений движения для системы типа I - являются собственными значениями
матрицы*)
(2(0) + 1(0) t. (3.3.11)
Обсудим теперь процесс рассеяния. Потенциал U(q) = I "цв (3.1.1)
i< к
исчезает при (?;- - qk) -*¦ °° и поэтому
~pft + qf при г->±°°. (3.3.12)
Таким образом, процесс рассеяния определяется каноническим
преобразованием от переменных (р j, qj) к переменным ( pj, qj).
Далее, нетрудно видеть, что
П
1к=к-'и(Ьк) = к-' 2(рГ)к = к-' 2 (pj)k. (3.3.13)
j = i i = i
Отсюда следует, что величины pj отличаются от pj лишь перестановкой:
p+ = sp~. ' (3.3.14)
Учитывая условие q г < q2 < • • • < Qn, получим
Pi <Р2 < . . - <Рп', Pi> Рг> ¦ ¦ - >Рп и,следовательно,
Pi = Pn, P2=Pn-u---,Pn=Pl (3.3.15)
Докажем, что величины qj и qk также удовлетворяют аналогичному условию
= Q2=Q*n-i,---,Qn=Ql- (3.3.16)
Действительно, из (3.3.5) следует, что
Д= ц(о°)1(оо)М-1(оо) = М(-оо)1(-оо)м-1(-оо). (3.3.17)
Кроме того,
1(0°) = Р* = diag р*Ъ L(-со) = р- = diag [ pf,: . .,р'].
(3.3.18)
Отсюда получаем
P*=SP~S~l, (3.3.19)
где
5= ц'1(°°)ц(-0°) = ц'1(-°°)ц(о°), 5,; = 5у, " + (3.3.20)
*) Отметим, что для доказательства этого утверждения мы использовали
явный вид матриц L(t) и M(t) ((3.1.6) и (3.1.7)). Доказательство, не
использующее явного вида матриц L и М (но зато использующее соотношение м
= с), в рамках схемы редукции гамильтоновых систем с симметрией приведено
в разделе 3.7.
136
Теперь воспользуемся равенством
Q(t)= u'1(t)x(t)u(t)=Pt + i[M,Q]t + u-\t)bu(t). (3.3.21)
Отсюда следует, что
Q+=SQS-\ (3.3.22)
таким' образом, соотношение (3.3.16) доказано. Другое доказательство
соотношения (3.3.16) данов работе [251].
Соотношение (3.3.15) было впервые обнаружено для п = 3 в работе [242] и
для произвольного п в квантовом случае в работе [132]. Естественная
гипотеза, что оно справедливо и в классическом случае, была доказана
Мозером, который доказал также и соотношение (3.3.16) [251].
Соотношения (3.3.15) и (3.3.16) означают, что рассеяние в данной задаче
сводится к следующим друг за другом рассеяниям отдельных пар частиц.
Перейдем теперь к системам типа V, т.е. к системам с потенциалом v(q) = q
~2 + сo2q2.
В этом случае вместо свободного рассмотрим гармоническое движение в
пространстве Х°:
x+co2x = 0, xGX°. (3.3.23)
Решение этого уравнения имеет вид а
x(t) = -sin cor + b cos со t, a,bGX . (3.3.24)
CO
Представляя зто выражение в виде (3.3.3) и дифференцируя (3.3.3) дважды
по времени, аналогично предыдущему приходим к утверждению: координаты
q,(t) рассматриваемой системы являются собственными значениями матрицы
(2(0)coscor + co_1?(0)sincor. (3.3.25)
Далее,из (3.3.3) следует, что
tr[G(r)]k = tr[x(r)]k. (3.3.26)
Однако tr[?2(r)]k - зто полином по ^степени к, инвариантный относительно
перестановок. Отсюда получаем
Следствие 1. Полином степени к по q^ инвариантный относительно
перестановок, яйляется полиномом степени к по t (при со = 0) или по sin
сог и cos со г (при со Ф 0) .
Заметим, что явное решение уравнений движения для систем типа I и V (см.
(3.3.11) и (3.3.25)) позволяет установить простое соотношение между этими
решениями.
Пусть qj(t) - решение уравнений движения для системы типа I (со = = 0).
Тогда из формул (3.3.11) и (3.3.25) следует, что величины
<7/(0 = ?7/ (со-1 tgcor)coscor (3.3.27)
являются решениями соответствующей системы типа V (со Ф 0). Справедливо,
разумеется, и обратное утверждение *).
*) Аналогичная связь существует и для систем более общего вида [266], см.
следующий раздел.
137
Отметим еще, что величины
tr(?k^zЛek,?/, • • •) (3.3.28)
весьма просто зависят от времени. Именно, такая величина является
полиномом степени к = по t (при со = 0) или по coscor и sincor (при со Ф
Ф 0). Алгебра скобок Пуассона для таких величин изучена в работе [121].
3.4. Связь между решениями уравнений движения для систем типа I и V
Рассмотрим, следуя [266], две классические динамические системы типа I и
V, но с гамильтонианом Н, зависящим от времени:
н = \ 'Zpf+Uiq), q = (qu...,qn) (3.4.1)
2 / = i
И
Н 2 (pf+b>\t)qf) + K(t)U(Q). (3.4.2)
2 / = 1
Относительно потенциала U(q) предположим лишь, что U(q) является
однородной функцией степени к:
