Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 46

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 88 >> Следующая

sin s cos a cos s
Pi=-~--------;---------, Рг = ~----:----;---. (2.8.44)
1 - sm a cos s 1 - sin a sin s
qi = cos s - sin a, q2 = cos a sin s.
Таким образом, вектор p = (p1>p2) описывает окружность, а вектор q = (<у
|, q2) описывает эллипс с эксцентриситетом
e=sina, (2.8.45)
параметризованные эксцентрической аномалией s (см. [250]). Для получения
соотношения между ins заметим, что
\У I = I Ч I = 1 - sin a cos s = 1 - ecos s (2.8.46)
и, следовательно,
S
? = / Ijk |c/s = s - e sin s. (2.8.47)
Таким образом, данная регуляризационная процедура автоматически приводит
к уравнению Кеплера.
Заметим, наконец, что при е = 1 уравнение Кеплера принимает вид
t= s - sin s ^ s3 - ... (2.8.48)
6
откуда видно, что координаты орбиты вблизи сингулярности являются
аналитическими функциями величины t1/,э.
Отметим две работы, имеющие отношение к рассматриваемому вопросу. В
работе [124] методом Мозера были изучены также случаи Е > 0 и Е = 0,
которые сводятся к исследованию геодезических потоков на гиперболоиде и в
евклидовом пространстве. В работе [227] рассмотрено соотношение между
методами регуляризации работ [228] и [250] для трехмерной задачи Кеплера.
121
Отметим еще, что если взять все состояния задачи Кеплера (для простоты
при п = 3), то это пространство естественно изоморфно пространству ToS3,
т.е. подпространству, в T*S3, состоящему из ненулевых касательных
векторов к сфере S3. Оказывается, что это пространство является
однородным: на нем транзитивно действует группа SO(4,2), причем как
группа симплектических диффеоморфизмов на T?S3 (т.е. эти преобразования
сохраняют стандартную симплектическую структуру этого пространства) . При
этом T*S3 изоморфно орбите наименьшей размерности - шестимерной орбите
коприсоединенного представления группы SO(4,2). Этот изоморфизм
используется при так называемом геометрическом квантовании задачи Кеплера
(детали см. в [258]; описание действия группы SO(4,2) в фазовом
пространстве дано в [124]).
Замечание (А.Б. Гивенталь, см. [2]).
Пусть плоскость (х, у) - конфигурационная плоскость задачи Кеплера
с гамильтонианом Н:= - (р2 +Pv) > r ~ V-*2 + У2 ¦ Рассмотрим в прост -
2 у г
ранстве (х, у, z) прямой круговой конус z2 = (х2 + у2) и семейство
вписанных в него параболоидов вращения z = ((х2 + у2)/4а) + а (а -
параметр). Спроектируем пространство (х, у, z) на плоскость (х, у) вдоль
оси z. Тогда можно показать, что:
(а) траектории задачи Кеплера - это проекции плоских сечений конуса (в
частности, вершина конуса - фокус проекций его плоских сечений);
(б) траектории с одинаковым значением полной энергии - проекции сечений
конуса плоскостями, касающимися одного итого же параболоида;
(в) траектории с одинаковым значением момента импульса - проекции сечений
конуса плоскостями, проходящими через одну и ту же точку оси z.
2.9. Движение в ньютоновском и однородном поле
Рассмотрим простейший случай плоского движения, описываемого
гамильтонианом
1 О!
я= - (Pi +P2) + tf(qi,q2), tf(q)= +0<7i. (2.9.1)
2 г
Отметим, прежде всего, что при /3 -> 0 нашу задачу можно рассматривать
как возмущение задачи Кеплера, причем возмущение инвариантно при замене
q2 -*¦ -Яг - Поэтому если задача допускает дополнительный интеграл
движения, то он при этом должен переходить в компоненту A i = [1, р] i +
+ aqi/r - вектора Лапласа. И действительно, наша задача допускает
квадратичный интеграл движения, имеющий вид
1 aqi 13
I = Ai+-Pql, /=-/р2+-----------+-?2- (2.9.2)
2 г 2
Отсюда следует, что уравнения движения интегрируются методом разделения
переменных с. одной из четырех систем координат, рассмотренных в разделе
2.3. Нетрудно видеть, что в данном случае для этого
122
нужно перейти к параболическим координатам
+ rj=~(r-qi), (2.9.3)
откуда
r=t + il, qi=t-V, <72 = 2\/fr?. (2.9.4)
Гамильтониан Я в новых переменных принимает вид 1 1
Я=-
(г9-5)
Таким образом, система имеет вид Лиувилля и ее интегрирование
производится стандартно, в результате чего получаем уравнения dt dr>
--------=- = ds, dt= (? + rj)ds, (2.9.6)
\/Щ
где
Л = 2^7 + ^+|-"2), S=2rj(-7 + ?rj+^+/3r?2)- (2.9.7)
Интегрируя уравнения (2.9.6), получаем выражения для ?(s) и rj(s) через
функцию Вейерштрасса &(х). Заметим, что при /3 = 0 мы возвращаемся к
задаче Кеплера, которая может быть решена методом разделения переменных
как в полярных, так и в параболических, а также в эллиптических
координатах.
2.10. Движение в поле двух ньютоновских центров
Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая плоского движе-. ния
(Эйлер, 1760 [164], Лагранж [229]). Гамильтониан в этом случае имеет вид
~ Oi+P2)+ U(quq2), U(ql,q2)=-(- + -\ (2.10.1)
2 \ri т2/
где
т\ =у/(х-с)2 + у2, г2 =\/(х + с)2 +у2 (2.10.2)
- расстояния до притягивающих центров.
В этом случае также имеется дополнительный, квадратичный по импульсам
интеграл движения, обобщающий компоненту вектора Лапласа А\ для одного
центра, а именно
1 f OL\ Q.'y \
/= -(/2-с2р22) + с?1(- - -). (2.10.3)
2 \гл r2/
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed