Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
w")=Gtt) (3-1.41)
и уравнения (3.1.34) выполняются, то пара матриц порядка пХп * L2
L= -+Q, М=М (3.1.42)
2
удовлетворяет уравнению Лакса. Таким образом, система вида (3.1.26) при
t'(c) = ^2a2sh_2(a?)" w(?)= 7ch(2a? + 5) (3.1.43)
также допускает представление Лакса и обладает п независимыми интегралами
движения
7fc=-tr(Ifc), к= 1,..., и. (3.1.44)
к
с
Отметим, что частным случаем этой системы при 5 -*¦ уе -*¦ const является
система Адлера [108]
v(^) = g2a2sh~2(aO, w(^)=ye2ai, (3.1.45)
130
для которой в работе [108] была доказана полная интегрируемость.
Дальнейшее обобщение этих результатов дано в работе [206], где показано,
что системы вида (3.1.26) с гамильтонианом, определяемым парами функций
и(0 = *2*2, и^а^ + а^+аз*3 +а4?4 (3.1.46)
И
u(?) = ,?Vsh~2(a?), w(?) = /3ich(2a?) + /32ch(4a? + у), (3.1.47)
допускают представление Лакса с матрицами L и М порядка 4л вида я (L
R\ а ( М т\
/,=( " " ), М = \ ~ ~ ), (3.1.48)
\R -L/ \-Т М/
где матрицы L и М имеют вид (3.1.28), a R и Т - диагональные матрицы
порядка 2л X 2л:
~ /R 0\ ~ /Т 0\
Но J- Ко -г) (3'Ь49)
Rjk ~ R(xj)bjk> Tjk ~ ~R (xj)&jk-При этом QuR удовлетворяют уравнению
(3.1.34) и
W("= ^"22") + *2(?))+const. (3.1.50)
Можно показать, что существуют решения соответствующих функциональных
уравнений вида
= <2(?) = <*o+ai?+a2?2, Д({) = М + /32?2; (3.1.51)
х(0 = ^Л-1(в{)> 6(f) = 7o+7ich(2ef), Л(0=72сЬ(4в{ + 6), (3.1.52)
что и дает потенциал вида (3.1.46) ,(3.1.47).
Отметим, что в работе [206] методом работы [263] (см. следующий раздел)
была доказана инволютивность интегралов движения рассматриваемых систем
и, следовательно, их полная интегрируемость. Другое доказательство
инволютивности этих интегралов движения дано в работе [309].
3.2. Вполне интегрируемые многочастичные системы
Докажем, что системы, рассмотренные в предыдущем разделе, являются вполне
интегрируемыми. Для этого, согласно теории Лиувилля (см., например, [1]),
достаточно показать, что интегралы движения (3.1.5), где/, дается
формулой (3.1.6) или (3.1.24) при к= 2,. .. ,п, являются функционально
независимыми и находятся в инволюции
{/*,/|>=0.
Заметим прежде всего, что интегралы имеют вид 1 ? к
1к~~ ^ р.- + слагаемые меньшей степени по импульсам. (3.2.1) к j= 1 '
5
131
Поэтому функциональная независимость величин 1к следует из функ-
" к
циональной независимости величин Sk = 2 р.. (Доказательство этого
/= 1
свойства величин элементарно, и мы оставляем его читателю.)
Доказательство же инволютивности интегралов Iк является более сложной
задачей. Для систем типа I такое доказательство было дано Мозером [25].
Приведем его. Нетрудно показать, что приg2 > 0 и расстояние
между двум я любыми частицами неограниченно возрастает: | <jy(f) - qk (t)
\ -*¦ ' " для любых начальных условий*). При этом величины
-+оо
/*(Г)
так что при т-юо в ел ичины {lj(t),Ik(t)} ->-0. Однако мы знаем, что
величины Ij, а следовательно, и {Ij, 1к} являются интегралами движения.
Поэтому скобки Пуассона ilj(t), 1к(t)} = const = 0 в любой момент
времени. Для систем типа II, как отмечено в работе [133], это
доказательство остается справедливым.
Что касается систем типа III, то, как отмечено в работе [133], они
получаются из систем типа II заменой a -+ia и поэтому также вполне
интегрируемы.
Для сйстем типа V нетрудно доказать [262], что в инволюции находятся
величины Вк(р, q) - к tr (Z, ") к (или же Вк), а этого достаточно для
полной интегрируемости рассматриваемых систем. Однако доказательство
инволютивности интегралов движения для систем типа IV является
значительно более сложной задачей.
Два разных доказательства инволютивности даны в работах [263, 308]. Мы
приведем здесь доказательство из работы [263]. Заметим, что оно
справедливо также для некоторых систем с непарным взаимодействием,
рассмотренных в работе [255].
Возьмем одну из приведенных выше систем с функцией v(q) вида I-IV. Пусть
эрмитова матрица L = Р + iX порядка п построена по (3.1.6), где функция
х(д) удовлетворяет функциональному уравнению (3.1.9). Пусть (р' = (tpi,
, <рп) и ф' = (ф1г . . . , ф") - собственные векторы мат-
рицы L, отвечающие собственным значениям X и д соответственно (штрих
означает транспонирование):
L<p = (P + iX)<p--=\<p, L\p = (P+iX)\p =рф. (3.2.2)
Покажем, что если функция х(}) удовлетворяет функциональному уравнению
(3.1.9) , то величины X и д находятся в инволюции, т.е.
. и I ЭХ Эд ЭХ Эд 1
{Х,д}= 2 =0. (32.3)
/ = 11 ЭPj bqj bqj bpj )
Основная идея метода аналогична идее работ [168,88], в которых бы-
*)Это свойство оказывается справедливым для довольно широкого класса
отталкивающих потенциалов [75]. Многочастичные системы с такими
потенциалами взаимодействия также являются вполне интегрируемыми, хотя
явный вид интегралов движения для таких систем в настоящее время
неизвестен.
132
ла доказана инволютивность интегралов движения для цепочки Тоды. Заметим,
прежде всего, что
ЭХ / Э L \ _
~ \ Ч>> Т-*Р ) ~ VkVk, (32.4)
Ърк \ Ърк ЭХ
