Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
1 opj dq/ r i dpj
Если предположить, что /(p, q) является полиномом no Pj степени к, то
цепочка уравнений (2.8.8) обрывается. Лаплас ограничился рассмотрением
случаев к = 1,2 и нашел, что при к = 1 единственным интегралом движения
является вектор 1 = [q, р], а при к - 2 имеются интегралы р2 а
Н =- и вектор А (2.8.5). Использование вектора А облегчает
исследование кеплеровского движения. Отметим следующее.
1.Из (2.8.5) получаем
(1 • А) = 0, (2.8.9)
т.е. вектор А лежит в плоскости орбиты.
115
2. Умножая А скалярно на q и вводя угол в между А и q, находим уравнение
орбиты
I2 /а
г = ---------------------- , е = I А |/о. (2.8.10)
1 - е cos в
Следовательно, вектор А направлен по большой оси эллипса, а его модуль
пропорционален эксцентриситету.
3. Средний дипольный момент частицы
d = ~fq(t)dt (2.8.11)
Т о
равен
3
I d | = - еа, (2.8.12)
2
где а = а/2 \ Е\ - большая полуось эллипса, и направлен так же, как и А.
Отсюда
4
А = - | 2? | d. (2.8.13)
При возмущении потенциала
U(r) = - - + pUi(r), 0<а, (2.8.14)
г
кеплеровская орбита медленно прецессирует, а вектор А поворачивается
вместе с орбитой и сохраняет значение приближенного интеграла движения.
4. Возводя (2.8.5) в квадрат, получаем
2
А2 = 22Г12 + а2, Е = ---------. (2.8.15)
2 г '
Введем вектор
ш = (-2?)-1/2А. (2.8.16)
Тогда энергия равняется
(2-817>
5. Интегралы движения 1 и А можно выразить через адиабатические
инварианты 1Г и 1% [23]:
I
= h = fPede, А = a J1 - (. m = \/lr(Ir + 21 в).
\ 1г+1в /
(2.8.18)
Отсюда следует, что при медленном изменении а величины I и m остаются
неизменными, а А меняется пропорционально а.
116
6. Вычислим, наконец, скобки Пуассона для интегралов движения 1 и А:
ilulj} = eijklk, {lhAj} = eijkAk, {Ai,Aj)=-2Eeijklk, (2.8.19)
где ?цк - полностью кососимметричный тензор, е [ 2 з = 1- Из (2.8.19)
видно, что при фиксированном значении Е алгебра интегралов движения
относительно скобок Пуассона замыкается.
Переходя к вектору ш, при Е < 0 получаем
~ ^ijklkt ^ ~ ^ijk^k> {wii>mj}~€ifklk' (2.8.20)
Видно, что эта алгебра есть алгебра Ли группы SO (4). Поскольку (1, ш) =
0, среди If, rrij имеется пять независимых интегралов движения, как это и
должно быть для системы с тремя степенями свободы.
7. Отметим еще, что классическая задача Кеплера при а > 0 обладает
специфической особенностью: некоторые решения уравнений движения (2.8.3)
обладают сингулярностью, соответствующей попаданию частицы в центр
силового поля.
Однако после подходящей регуляризации эта сингулярность может быть
устранена. В двумерном случае способ устранения сингулярности был указан
в работе Леви-Чивиты в 1906 г. [237].
Именно, если ввести вместо времени t новую переменную
dt
s=f- (2.8.21)
г it)
и преобразовать независимую переменную с помощью формул 1 2
qi+iqi = ~z , pl+ip2 = w/z, (2.8.22)
2
то для полученного дифференциального уравнения точка z = 0 станет
регулярной. После этого поверхность постоянной энергии становится
многообразием без границы, топологически эквивалентным вещественному
проективному пространству CRP3, т.е. расслоению единичных касательных
векторов к двумерной сфере S2.
Регуляризация уравнений движения для трехмерного случая была найдена в
работе [228]. Оба эти способа, однако, не годятся в и-мерном случае и,
кроме того, их связь со скрытой симметрией системы не вполне ясна.
8. Мы показали, что задача Кеплера инвариантна относительно алгебры SO
(4). Более сложно увидеть инвариантность этой задачи относительно
соответствующих глобальных преобразований - преобразований группы SO (4).
Впервые это было сделано в 1935 г. В. Фоком [172] для квантового случая.
Для классического случая глобальная инвариантность задачи Кеплера
относительно группы SO (4) для трехмерного случая, а также группы SO (и +
1) для и-мерного случая была явно продемонстрирована лишь в 1970 г. в
работе Мозера [250]. В этой же работе была описана естественная
регуляризация уравнений движения. Именно, Мозером было показано, что
после подходящей компактификации поверхность постоянной
117
энергии (Е < 0) топологически эквивалентна касательному расслоению
единичных векторов к и-мерной сфере 5". Им была доказана
Теорема 2.8.1. При Е < 0 поверхность энергии Н =Е можно отобразить
топологически и взаимно однозначно на касательное расслоение единичных
векторов к 5" при условии, что одна точка сферы (северный полюс,
соответствующий центру сил) выколота.
Кроме того, фазовый поток задачи Кеплера переходит, после замены времени
новой переменной, в геодезический поток на 5" без выколотой точки.
Сингулярные орбиты соответствуют при этом окружностям, проходящим через
северный полюс сферы.
Ниже излагается решение проблемы, следуя оригинальной работе [250].
А. Геодезический поток на сфере и задача Кеплера. а) Начнем с описания
геодезического потока на сфере 5", которую мы рассматриваем как вложенную
в (и + 1)-мерное пространство:
= •••,&.)¦¦ 1?12=2 ?;=!>¦ (2,8.23)
о 1
Рассмотрим в (п + 1)-мерном пространстве динамическую систему с
