Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
произвольная геодезическая на Хй имеет вид
x(t) = be,x${2at}b*, (3.5.11)
где Ъ G SL(n, С ), a-a*, tr а - 0.
На пространстве Хй существует аналог сферической системы координат. Из
курса линейной алгебры известно, что всякую эрмитову матрицу можно
привести к диагональному виду с помощью унитарного преобразования. Пусть
х(г) - произвольная кривая в Хй - Тогда
x(t) = U(t)exp{2aQ(t)}U*(t), (3.5.12)
где U(t)GK = SU(h) - ''угловая переменная" и Q(t) - диагональная матрица
diag [<7i(f)>.. .,<7Л(0], (2<fy=0) - сферическая проекция, а - параметр.
Для такой параметризации х(г) справедливо соотношение
- (х~1х + хх'1) = 2 aULU*, (3.5.13)
где
L(t) =Р + /(4а)-1[ехр{- 2aQ}Mexp{2aQ } - ехр{2а(>}Мехр{ - 2aQ}],
(3.5.14)
М-- iU~ U - ''угловая скорюсть" вращения, Р = Q - ''относительная
скорость".
Дифференцируя (3.5.13) повремени, мы находим
- - (x-1x+xx-1) = 2aU(L+l[M,L])U\ (3.5.15) 2 dt
так что уравнение (3.5.10) эквивалентно уравнению Лакса
iL = [M,L]. (3.5.16)
Напрютив, предположим, что мы имеем пару матриц L(t), M(t), связанных
соотношением (3.5.14) и удовлетворяющих уравнению Лакса (3.5.16). Пусть и
(Г) - решение уравнения и = iuM и пусть x(t) определе-
141
но уравнением (3.5.12). Тогда х([) удовлетворяет уравнению (3.5.10) и
потому является геодезической.
Нетрудно проверить, что пара Лакса (3.1.6), (3.1.7) для систем типа
II с х(?) = acth(a?) удовлетворяет уравнению (35.14). Теперь мы
должны определить геодезические, ассоциированные с парой Лакса.
Предполагая без ограничения общности, что матрица Ъ диагональна,
следовательно, м(0) = /, мы находим из (35.11) и (35.13)
b = ехр{аб(0)}, G(0) = diag(<7?,... ^"), (35.17)
*/* ="р,° "/*'+ /"as( 1 - Ы)^"1 ["в/ - "*)]• (з-5-18)
Мы приходим, таким образом, к окончательному результату: решения Qj(i)
уравнений движения для систем типа II являются логарифмами собственных
значений матрицы x(t) - bexp {2at}b*, где матрицы b и а даются формулами
(35.17), (35.18).
Специальный выбор геодезических, которые проектируются на поток для
системы типа II,имеет простую механическую интерпретацию.
Сохраняющийся ''момент количества движения" относительно действия группы
SU (л) дается формулой
H = i[x~\x]. (35.19)
Для геодезической (35.11) мы получаем
д = 2i(b~lab - bab'1) (3.5.20)
и для специального случая а, b вида (3.5.17)- (3.5.18) д принимает вид
д=4а2?(е(r)е -/), е = (1,...,1), (3.5.21)
(сравни с формулой (3.3.10)) . Такое значение''момента количества
движения" является весьма специальным: (л - 1) собственное значение
матрицы д совпадает друг с другом. Это свойство является
характеристическим для геодезических, которые проектируются на траектории
системы типа И. Заметим, что SU(n)-орбита Оц, проходящая через д, имеет
минимальную (ненулевую) размерность среди всех орбит группы SU(n): dim0M
= 2 (л - 1). Этот факт важен для обсуждения гамиль-
тоновой редукции в разделе 3.7.
Отметим также, что формулы для явных решений систем типа III получаются
заменой параметра а на 1а. Однако поучительней будет указать на связь
этих решений с геодезическим потоком на унитарной группе SU(n). Группа SU
(л) находится в двойственном соответствии с пространством Хп • Эта
двойственность для широкого класса пространств была установлена Э.
Картаном. Частичным ее проявлением является связь между гиперболической и
сферической геометриями; другое ее проявление - связь между формулами для
систем II и III. Группа SU(л) является ри-мановым пространством
положительной кривизны с метрикой (3.5.8), и геодезические этой метрики
вычисляются стОль же просто, как и для пространства Х". Поэтому все
рассуждения в этом случае могут быть повторены и явные формулы получены
независимо.
В случае одной степени свободы пространства X -Г и SU(2) суть трехмерный
гиперболоид и трехмерная сфера. В начале раздела мы реализовали системы с
одной степенью свободы на двумерном гиперболоиде и дву-14?
мерной сфере. На самом деле системы с одной степенью свободы можно
реализовать на гиперболоидах и сферах произвольной размерности.
В заключение этого раздела, следуя работе [310], проинтегрируем явно
уравнения движения систем с гамильтонианом
Н=- 2 pj + g2 2 sh-2(qj-qk) + a 2 exp(4qfc). (3.5.22)
2 /¦ = 1 j < к к = 1
Прежде всего заметим, что для уравнений движения этой системы можно
записать обобщенное представление Лакса
L = [М, L] - 4а ехр(40, (3.5.23)
где
Цк = Pkbjk + &(1 - 5/fc) cth(47 - dk),
Mik = ( - Мц ) 8jk + g(\ - 8/k) sh"2 (qj - qk) i*i
(3.5.24)
Q = diagfai -,..., qn).
Дифференцируя по времени матрицу exp (20, получаем d
-- [exp (20] = [?, exp(20] + 2(1 +C)exp(20, dx
где
Cjk = ig(l - 5/fc).
Удобно ввести матрицы L±=L±C, удовлетворяющие соотношениям
I+exp(20= exp(20I", I+ - L~ = 2C и уравнениям типа Лакса
Z* = [М,!*] - 4а ехр(40, d
dt
[exp(20] = [М, exp(20] +2I+exp(20 =
(3.5.25)
(3.5.26)
(3.5.27)
(3.5.28)
(3.5.29)
(3.5.30)
= [M, exp(20] + 2 exp(20?-. (3.5.31)
Для того чтобы упростить эти уравнения, ведем матрицы
