Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
гамильтонианом
н=- |r/|2UI2, (2.8.24)
2
где ? = (?<ь ?i, ...,?") и т?= (т?0, Vi, • • • , rfc) - это (и + 1)-
мерные век-торы координаты и импульса соответственно. Уравнения движения
такой системы имеют вид
Г = т?' = -|т?12$. (2.8.25)
Здесь штрих означает дифференцирование по величине st играющей роль
времени.
Из (2,8.25) следует, что если в начальный момент времени выполнялись
условия
UI2 =1, (?,т?) = I ?/V/ = 0, (2.8.26)
/ = о
то они будут выполняться и во все последующие моменты времени. Но, как
нетрудно видеть, многообразие, определяемое условиями (2.8.26),
представляет касательное расслоение TSn к сфере 5", а уравнение (2.8.25),
или же ¦
?" + 1т/|2? = 0, (2.8.27)
описывает геодезический поток на сфере 5" = {{f: |?|2 = 1) с энергией
Н =- I т/|2. Единичные касательные векторы {17: (17, ?) = 0, 17712 = 1),
2
1
образуют поверхность постоянной энергии Н = Е = - . Для того чтобы
описать этот поток в евклидовом пространстве, используем стерео-
118
графическую проекцию
, к = 1........п, (2.8.28)
1 - ?о
которая отображает сферу 5" с выколотой точкой (1, 0, . . . , 0) на "-
мерное евклидово пространство.
Распространим это отображение до отображения касательного расслоения в
пространство 1R2" = {(х,у): х,у € IR"} так, чтобы при этом выполнялось
условие
2 т= 2 j>k??.xk. (2.8.29)
д = о к = 1
Величины jTfc будем искать в виде
Ук =я(?>т?)т?к + *(?>т?)?к> к =1,2,..., п. (2.8.30)
С помощью соотношений (2.8.26), а также равенств
" " / Vo \
2 = 2 ( Vk ~ - $к )d$k,
о 1 V ?0 /
?k(Zld%[)
dxk =
(2.8.31)
1-fo ?о(1~Ы2
получаем простой ответ *)
Ук =(1 - $,o)Vk + Votk- (2.8.31')
Приведем еще формулы для обратного отображения из пространства IR" на
сферу 5":
2хк | л: |2 - 1
ь = т ,-2- . ¦ ^=--ггГ' (2'832)
| X г + 1 I х г + 1
\х |2 + 1
Vk = ---------- Ук - (х,у)хк, Т)0 = (х,у). (2.8.33)
Гамильтониан же после перехода в пространство (х, у) принимает вид
(| х |2 + I)2 1
F = ----------L 1Я2 =•- Ш21т?|2. (2.8.34)
8 2
Поскольку уравнения Гамильтона
*'=-, / = - - (2.8.35)
ду дх
содержат лишь производные от функции F, то мы можем заменить функцию F
любой функцией G(F) при условии, что = 1. Сделаем такую
*) Можно показать [250], что это единственная возможная форма ук.
119
замену:
G = yJlF - 1 = ^-X--[^У-~ - 1. (2.8.36)
(2.8.35')
Тогда уравнения движения (2.8.35) переходят в уравнения , Э G ЭС
* = Т~- у =~~^'
ау ах
причем условие F = 1/ 2 переходит в условие G = 0.
Переходя от переменной s к новой переменной t согласно формуле
t=f\y\ds, (2.8.37)
получаем вместо (2.8.35')
• . , 3G . ,ЭG
х = \уГ1 - , у=-\у\ - , (2.8.38)
ау ах
где точка означает дифференцирование по t.
Заметим, наконец, что при G- 0
i-i
Э Gjby = дН/ду, | у г1 Э G/Эх = + ЭЯ/Эх;
где
H=\yVlG-\ = --- (\/2F- 1) = ^ |* |2- \у Г1, (2.8.39)
2 \у I 2
так что окончательно мы получаем систему с гамильтонианом (2.8.39),
полагая в котором р = -x,q=y, приходим к гамильтониану задачи Кеплера
1.1 1
Я=-|р|2----------------------------------------------(2.8.40)
2 \q\ 2
В результате мы показали, что преобразования (2.8.28), (2.8.31) и
(2.8.37) отображают расслоение единичных касательных векторов к сфере в
2и-мерное фазовое пространство, а большие окружности сферы 5" - в
кеплеровские эллипсы на поверхности энергии Я = Е = -1/2.
До сих пор мы исключали из рассмотрения северный полюс сферы ? - (1, 0,.
. . , 0). Теперь мы можем рассмотреть и его. При этом геодезические,
проходящие через северный полюс сферы, преобразуются в вырожденные
орбиты, отвечающие попаданию частицы в начало координат.
Если мы хотим описать фазовый поток вблизи сингулярной точки q - 0,
соответствующей северному полюсу сферы, то нам следует использовать
преобразование
So^-So, Vo-*-r)o, 1, 2,... ,и, (2.8.41)
переводящее северный полюс в южный. Этому преобразованию соответствует
следующее преобразование в пространстве (р, q):
q -*\р\2q-2{pq)p, (2.8.42)
IP I
120
которое, как отмечается в [250], уже использовалось в теории Зундмана.
Заметим, что при этом преобразовании кеплеровские орбиты переходят в
кеплеровские орбиты. Кроме того, сингулярные состояния системы (| р | = q
= 0) преобразуются в состояния р = 0, | q \ = 2.
Отметим также, что общий случай произвольной отрицательной энергии Е = -
1/2р2 легко сводится к рассмотренному случаю Е= -1/2 заменой переменных q
-+p2q, р -+p~lp, t -+ръ t.
Из найденной геометрической картины сразу получается и зависимость
координат и импульсов от времени. В силу инвариантности относительно
вращений вокруг оси ?0 мы можем считать, что движение происходит в
трехмерном пространстве (?о, li, Ь) : ?з = ?4 = • .. = ?" = 0. Движение
совершается по большой окружности, угол между плоскостью которой и
плоскостью экватора ?0 = 0 обозначим через а. Тогда при соответствующем
выборе начала отсчета величины s мы получаем
?о = sin a cos s, ?!=sins, ?2 = -cos а cos s, = g = d^Jds. (2.8.43)
После стереографической проекции и замены Xj = -pj, у= qy мы получаем
