Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 42

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 88 >> Следующая

/ . v = 2, U = сг2. (2.6.15)
0 тг/ 2 v
Пусть теперь v2 - 2 < 0, t/(r) = -ср2 ~ ^ . Устремляя Е к нулю,
получаем
1 dp 1 pv !2~ 1 ж ж
/ -----/==¦¦-¦¦¦ ¦ = / -j - dp . (2.6.16)
о pVp " - 1 0 VI -pv v v
Таким образом, интересующим нас свойством могут обладать лишь два
потенциала
U(r)=kr2 и U(r) = -ajr, к, а>0. (2.6.17)
Хорошо известно, что для них любая финитная траектория является
замкнутой.
В. Нецентральное поле. Этот-случай значительно сложнее случая
центрального поля, и здесь имеются лишь отдельные результаты.
Случай двух степеней свободы, допускающий разделение переменных, был
рассмотрен в работе [74]. В этой работе были найдены четыре типа систем,
обладающих замкнутыми траекториями. Потенциальные энергии этих систем
таковы:
^1 02 Я\ ч1
1. U(quq2) = a(q\ + ql) + - + - . (2.6.18)
2. U(ql,q2)=a(4q2l +ql) + fai +~ . (2.6.19)
. Я2
a 1/0! 02 \
3. U(quq2) = U(r,e) = -¦+- -2- + -(2.6.20)
2 r 4r [ в
V C°S 2
a / в в \ 1
4. U = - + ^ 0i cos - + (32 sin - J-j=- . (2.6.21)
110
Уравнение Гамильтона - Якоби для этих систем допускает разделение
переменных:
1) в декартовых и полярных координатах;
2) в декартовых и параболических координатах;
3) в полярных и параболических координатах;
4) в двух различных системах параболических координат.
Обобщение теоремы Бертрана для случая двух степеней свободы,
когда уравнения Гамильтона - Якоби допускают разделение в декартовых или
полярных координатах, было дано в [259]. В этой работе было обнаружено
два семейства таких систем, обобщающих осцилляторные и кеплеровские
системы соответственно. Гамильтонианы этих систем следующим способом
выражаются через переменные действия Jt и /2:
1
j. = ----- §s/2(E - Uj(x))dx; (2.6.22)
2тг
a )H = a(nxJx +л2Л)+0, (2.6.23)
б) Я = -а(л1У1 + л2/2 +?Г2, (2.6.23')
где Л] и п2 - положительные взаимно простые целые числа, а и (3 -
положительные константы.
Среди этих потенциалов находятся, например, следующие:
a) U(q1,q2) = Ui(qi) + U2(q2), (2.6.24)
Uj(q) = (ао - а2 У2 (ot0Q - a vV + 7(<*о - а2 ))2, | ос | < ос0, т>0,
(2.6.25)
или
U,-(q) = (2а0) [ q--- ) ; (2.6.26)
б) U(г, в) = ?/,(>•) +Г2и2(в), (2.6.27)
иг(.г) = - xAV + -1- -1 . (2.6.28)
2 тг (2т) г
Д2 1 + a2 cos2 (2 "7 ip)
U2(0) =--------------------------------------- , (2.6.29)
т 1 + cos(2c7^)vl - a2sin2(2cjv)
где
7Г 1 У у \2
|"|<17' "'iW <L <2-6-30>
В пределе а -*¦ 1 получается неаналитический потенциал, который, однако,
описывает периодическое движение.
Д2 1 + cos2(2c7</0 б') U2(G) =------------------------------- .
(2.6.31)
2т 1 + cos(2<w)|cos(2^)l ^ }
H = 2o>(Jr+qJe)+&, (2.6.32)
111
J/,(r) = - wV, (2.6.33)
2
U2(6) = U0cos~2q<p. (2.6.34)
Г. Отдельные результаты. Укажем еще несколько систем, обладающих
замкнутыми траекториями.
в) Система с гамильтонианом
Н = ^ (l+q2fp2. (2.6.35)
Эта система получается при стереографической проекции системы,
описывающей свободное движение частицы на л-мерной сфере. Отсюда и
следует факт замкнутости траекторий.
г) Система л взаимодействующих частиц [262] с гамильтонианом
Н = - Ер? + g2 Е (qj-qk)~2 + Е q2 (2.6.36)
2 ' j < к j '
д) Свободное движение на поверхности вращения (вокруг оси z), задаваемой
уравнением [294] (груша Таннери)
16а2(х2 +у2 ) = z2(2a2 - z2). (2.6.37)
е) Движение по поверхности двумерной сферы в потенциальном поле
U(B,v) = - actg0. (2.6.38)
Здесь 0, у - стандартные сферические координаты.
ж) Задача Бертрана. Найти закон центральных (но не обязательно
потенциальных) сил, зависящих только от положения движущейся точки
и заставляющей ее описывать конические сечения, каковы бы ни были
начальные условия.
Эта задача была решена Дарбу [154] и Альфеном [192]. Оказалось, что
имеется два таких закона:
1) F = -kr(ar cos 0 + Ъг sin в + с)-3; (2.6.39)
2) F = -pr-2(A cos20+25 sin0 cos 0 + С sin2#)"3/2. (2.6.40)
з) Если отказаться от требования центральности сил, то можно найти еще
два случая, когда траектории являются коническими сечениями. Это - случаи
параллельных сил:
F = (0,F>,). (2.6.41)
Здесь
1) Fy=p(ax+by+cy3 (2.6.42)
или
2) Fy=p(ax2 +2bx+c)~3>2. (2.6.43)
и) Отметим еще. работу [220], где исследовался вопрос о том, каким должно
быть центральное поле, чтобы траектория являлась алгебраической кривой.
Было показано, что это может быть лишь для U(r) = кг2 или U(r) = -ar~1.
112
к) Груша Таннера, упомянутая выше, является примером метрики на сфере,
которая инвариантна относительно вращений вокруг оси z и для которой все
геодезические замкнуты, так же как и в случае стандартной SO(3)-
инвариантной метрики на сфере. Другие примеры метрик на S2 с этими
свойствами можно найти в работах Дарбу [154, 155] и Цолля [318]. Метрики
такого вида можно получить путем деформации стандартной метрики, которая
определяется нечетной функцией на сфере [175] и, следовательно, не
обладает аксиальной симметрией. Недавно было показано [179], что любая
нечетная функция на сфере определяет такую деформацию. Детальное
обсуждение этой и аналогичных проблем можно найти в книге Бессе [5].
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed