Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
получим из потенциала типа IV потенциалы типа II и III. Потенциал типа I
получается при стремлении обоих периодов к бесконечности. Таким образом,
система типа IV является системой наиболее общего вида. Однако системы
типа I, II и III обладают рядом специфических особенностей, и их разумно
рассматривать отдельно.
Отметим также, что если заменить а на ia в потенциале типа III, то мы
получим потенциал типа II, а если положить а = 0, то мы приходим к
системе типа I. Отметим еще, что для систем типа I и II мы имеем дело с
инфи-нитным движением, а для систем типа III и IV движение финитно.
Из выражения (3.1.14) для потенциала ц(?) видно, что потенциалы типа I-IV
сингулярны при qk = q.. Поэтому порядок частиц в процессе движения
измениться не может и мы можем считать, что qk < q. при / < к. Таким
образом, в случаях I и II конфигурационное пространство является конусом
Л, задаваемым неравенствами
qf+i>0, j - 1,... ,п - 1,
43.1.15)
и равенством 2^- = 0.
127
Для систем типа III и IV конфигурационное пространство представляет
выпуклый многогранник \ (симплекс), определяемый условиями
qf-qf+1>0, /= 1,...,л-1, qi-qn<~, 2qf=0, (3.1.16)
ч ^ /
где d - вещественный период функции и(?).
Конфигурационное пространства Л и Ад для п = 3 представляют внутренность
угла я/3 и правильный треугольник соответственно:
Отметим еще, что ввиду периодичности потенциала и(?) в случаях III и IV
мы имеем дело с системой п частиц на окружности.
Итак, для систем типа I-IV (см. (3.1.14)) функции х (q), у (q) иz{q)
известны. Следовательно, матрицы L и М также известны, и по формуле
(3.1.15) мы можем получить п интегралов движения 7),... Нетрудно видеть,
что все они являются функционально независимыми.
Небольшая модификация метода [262] позволяет рассмотреть также систему с
потенциалом
д(?)=Г2 +w2?2, (3.1.17)
который мы будем называть потенциалом типа V. Такая система обладает
финитным движением, а конфигурационное пространство для нее то же, что и
для систем типа I и II (см. (3.1.15)).
Как показано в работе [262], уравнения движения гамильтоновой системы
(3.1.1) с таким потенциалом эквивалентны матричным уравнениям
it = [М,^] ±со/Л (3.1.18)
где матрицы А* имеют вид
(3.1.19)
а
G=diag(?!,.. -,?")•• (3.1.20)
Матрицы L кМ даются формулами (3.1.6) и (3.1.7) соответственно с х (?) =
? 1 • Доказательство использует соотношение
[Q,M\=X, Xjk=g(l-5fk)x(qj-qk). (3.1.21)
Из (3.1.18) следует, что величины
Bl=^-tx(L+-)k (3.1.22)
К
128
не являются больше интегралами движения, однако они очень просто зависят
от времени:
?*(0=?*(0)eT'fc"f. (3.1.23)
Заметим, что при со Ф 0 они полностью определяют эволюцию системы.
Действительно, эти величины являются симметрическими рациональными
функциями от pj и qk; выражая р/ и qk через Вк и BJ и используя
соотношение (3.1.23), получаем явные выражения для р/ (t) и qt (t).
Из (3.1.18) нетрудно найти также и интегралы движения. Например, матрицы
LX=L*L~, L2=L~L+ (3.1.24)
удовлетворяют обычному уравнению Лакса
iLj=[M,Lj\, /=1,2. (3.1.25)
Следовательно, собственные значения матрицы Lj, или, что более удобно,
величины tr (Lj), являются интегралами движения; можно показать также,
что эти величины находятся в инволюции.
Заметим, что гамильтониан (3.1.1) с потенциальной энергией (3.1.17) в
системе центра инерции (2^- = 0) принимает вид
Н=- 1р?+ 2 v(qj-qk)+ 2 w(<jr), (3.1.26)
2 /= i i<k ' j = l
где v(q) = q~2, w(q) = (n -1) q2, и, следовательно, описывает систему и
взаимодействующих частиц во внешнем поле.
Покажем, следуя [108, 204], что для ряда таких систем представление Лакса
по-прежнему существует:
L=[L,M], (3.1.27)
где матрицы L и М имеют вид
~ /L Q\ ~ / м s\
1<а -l> H-s м)' <3L28)
a L wM - матрицы вида (3.1.6) и (3.1.7), Q и S - диагональные матрицы
порядка п:
Qjk = Q(qf)5,k, Sfk = S(qj)8jk. (3.1.29)
Из (3.1.27) следует, что матрицы L и Q должны удовлетворять уравнениям
L = [L,M] -lS,Q),
(3.1.30)
Q= [Q,M] +{S,L),
где {,} означает антикоммутатор матриц.
Отсюда нетрудно получить, что
w'") = 26(0S"). (3-1.31)
5. A.M. Переломов
129
Считая, что матрицы L и М по-прежнему имеют вид (3.1.6) и (3.1.7), из
уравнений (3.1.30) получаем
[G(c)-<2(n)]*'(?-n)+[S(?)+S(n)]*tt-n) = o, (3.1.32)
G'tt)=2S(0. (3.1.33)
Подставляя (3.1.33) в (3.1.32), получаем функциональное уравнение для
функций Q их:
2[Gtt)-G(T?)]*'tt-"?)+ [Q'") + Q'(n)]*(?-n) = о, (3.1.34)
W(f)= ^ С2Й)+Н'0- (3.1.35)
При дополнительном предположении, что функция х(?) - это функция вида I-
IV (см. (3.1.12)), помимо старых решений получаем еще решения
Ш = <*?2+0; (3.1.36)
a J
G(*) = Tch(2ef + 5) + /J, (3.1.37)
sh(a?)
где а, а, /3, у, 5 - произвольные постоянные. Отсюда следует, что если
функции v, w имеют вид
= w(O = ai2+0P; (3-1.38)
v(0~Sia2^2(a^)y w(?) = 7ch(4a? + 5), (3.1.39)
то системы с гамильтонианом вида (3.1.26) обладают представлением Лакса и
имеют п функционально независимых интегралов движения
Ik=-^-U(L2k), к-\,...,п. (3.1.40)
L К
Можно показать также [205], что если
