Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 52

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 88 >> Следующая

U(\q) = \kU(q). (3.4.3)
Пусть q{t) и q (t) - решения уравнений движения для соответствующих
систем:
q) = Fj (q), Fj (q) = -9 U/dqf, (3.4.4)
q, =K(t)Fj(q)-u2qj. (3-4-5)
Оказывается, что при дополнительном предположении относительно
функции к(t) между этими решениями существует простое
соотношение.
Для нахождения этого соотношения рассмотрим уравнение
а + со2 (г) а = 0 (3.4.6)
и пусть ai (() и а2(г) - два линейно независимых решения (3.4.6).
Определим функцию 0(0 формулой
НО = c<*2(0/ai(0 = с/а1~2(0 dt> (3.4.7)
и предположим, что функция к (t) имеет вид
к(Г) = с2[а,(г)]~-(к + 2>. (3.4.8)
Тогда справедливо следующее
Утверждение. Если q(t) - решение уравнения (3.4.4), то 4(0= а, (О <7
(0(0) (3.4.9)
является решением уравнения (3.4.5).
Для доказательства этого утверждения надо подставить q (О в виде
(3.4.9) в (3.4.5) и учесть соотношения (3.4.4) и (3.4.6) -(3.4.8).
Таким образом, решение более сложной системы (3.4.5) сводится
к решению более простой системы (3.4.4).
138
Приведем несколько простых следствий из сформулированного выше
утверждения.
1. Если U(q) - однородная функция степени к = -2, то, полагая с = = 1, мы
получаем к (О - 1 и, следовательно, величины
q{t) = ai(i)q,(fi(t)) (3.4.10)
являются решением уравнений движения гамильтоновой системы с
Н = | 2(р/ + ы*.ф + U(q) . (3.4.11)
2. Пусть потенциал U(q) в (3.4.11) имеет вид
U(q) - Е (q,-qkT2. (3.4.12)
I < к
Тогда, как было показано в предыдущем разделе, при со(0, не зависящем от
времени, координаты <7/(0 рассматриваемой системы даются формулой
(3.3.25).
В случае же частоты со(0, зависящей от времени, координаты qj(t) являются
собственными значениями матрицы
<*,(() 6(0)+ <*2(Г)1(0), (3.4.13)
где
Q = diag [q\, ¦ ,qn\, (3.4.14)
Цк = 5/fc + Kl - 5/kX<7/ - <7k)_1. (3.4.15)
a ctj(?) и a2(0 - решения уравнения (3.4.6) .удовлетворяющие начальным
условиям
а,(0) = 1, "i(0) = 0; а2(0) = 0, а2(0) = 1. (3.4.16)
В частности, в случае постоянной частоты получается формула (3.3.27).
3. Пусть <7 (О = q° - положение равновесия системы (3.4.11) с со (г) = =
const. Тогда
<7(0 = s/a2+b2t2 .q°, b = со/а, (3.4.17)
- автомодельное решение системы с Я вида (3.4.1).
4. Если a!(0 = t, аг(0 = 1, то со = 0 и мы получаем решение системы
(3.4.5) с со = 0 и U(q) вида
U(q,t) = br^ + 2^Uk(q), Uk(\q) = XkUk(q). (3.4.18)
В частности, при к = - 1 получается решение для ''кулоновского"
случая
U(q,t) = brlU_l(q). (3.4.19)
139
3.5. Явное интегрирование уравнений движения для систем типа 11 и 111
В данном разделе, следуя [95], будет показано, что системы типа II и III
являются проекциями движения по геодезическим в некоторых пространствах
отрицательной и положительной кривизны соответственно.
Простейший случай одной степени свободы рассмотрен в разделе 15.
Напомним, что при свободном движении частицы по верхней полости
двуполостного гиперболоида
IH2 = {х: х2 =х\ - х\ - xl = 1, х0>0} (3.5.1)
после проектирования
х->-<7 = Archx0 (3.5.2)
получаем систему с гамильтонианом
И-^р1 +?2(sh<7)'2, (3.5.3)
т.е. систему типа II для одной степени свободы.
Аналогичное рассмотрение геодезического потока на сфере
S2 = {х: х2 =xl + х? +х\ = 1) (3.5.4)
приводит к системе типа III с гамильтонианом
Н = - р2 +g2sin-2<?, <7 = arccosx0. (3.5,5)
2
Перейдем к общему случаю. Остановимся сначала на системах типа II. Для
этого рассмотрим пространство положительно определенных эрмитовых матриц
порядка п с определителем, равным единице.
На этом пространстве транзитивно действует группа G = SL(n, С) - группа
комплексных матриц порядка п с определителем, равным единице. Это
означает, что любую точку х ? Х^ можно перювести в любую другую точку с
помощью действия группы G, которое задается формулой
x^-gxg*, xGX~, gGG, g*=g'. (3.5.6)
В частности, если исходной точкой прюстранства является единичная
матрица, то получается представление для прюизвольной точки х ? :
x=gg\ (3.5.7)
и тем самым вложение пространства Х~в группу G. Такое представление
неоднозначно - если g умножить справа на элемент из подгруппы КС G ,
A=SU(rt), (к -1 = к*), то точка х не изменится. Это означает, что
пространство Хй есть факторпространство G/K = SL(", С )/SU(").
На прюстранстве Х" существует инвариантная относительно действия группы G
(35.6) метрика
ds2 =tr(dx- x~ldx-x~l). (3.5.8)
Относительно этой метрики прюстранство Х" имеет неположительную
140
кривизну, чем и объясняется знак минус в его обозначении. Нетрудно
вывести уравнение геодезических для метрики (3.5 &) :
d , . d .
- (х_1х) = 0, или -(ххг1) = 0. (35.9)
dt dt
Отметим, что если x(t) - кривая в пространстве Хй, то матрицы х-1(г)х(г)
и х(г)х-1(г) можно рассматривать как два векторных поля на группе SL(/i,
С). Эти поля не являются, вообще говоря, векторными полями на Хй- Их
полусумма, однако, будет уже векторным полем на Хй. Поэтому вместо
уравнения (3.5.9) мы будем рассматривать уравнение
d х~1х+хх~1
-----------------= 0, (3.5.10)
dt 2
которому геодезическая х(г) будет удовлетворять. Очевидно, что
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed