Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
ным числом: А<р = - ж, т и п - целые числа. Ясно, что это может про-п
исходить лишь в исключительных случаях. Нахождению этих случаев посвящен
следующий раздел.
.Отметим еще, что в случае степенного потенциала (U(r) = ark) для
степеней
. А: = 6,4,2,-1,-2,-3,--4,-6; - -- _!
2' 2 3' 3' 3
интегрирование в (2.5.8) приводит к эллиптическим функциям [35].
107
= z/ "ITT • (2-5.9)
2.6. Системы с замкнутыми траекториями
Как мы уже видели ранее, характерной чертой вполне интегрируемых систем с
п степенями свободы является наличие у них п глобальных интегралов
движения I,(p, q). Приравнивая их константам (I,-(р, q) = cj), мы
выделяем л-мерное многообразие Мс, которое топологически эквивалентно л-
мерному тору (в компактном случае) или произведению тора и евклидова
пространства. Динамические переменные при этом являются почти-
периодическими функциями времени t, т.е. разлагаются в л-кратный ряд или
интеграл Фурье,
qj(t) = 2 aki kn exp (/ 2 к,-сoft), (2.6.1)
величины P/(t) даются аналогичной формулой. Частоты ссу при этом, вообще
говоря, несоизмеримы друг с другом.
Особый случай возникает, когда хотя бы две частоты ссу оказываются
соизмеримыми друг с другом. Такое движение называют вырожденным. Здесь
нас будет интересовать лишь полностью вырожденное движение, когда все л
частот сOj соизмеримы друг с другом. Классическая траектория превращается
при этом в замкнутую кривую*), а число глобальных интегралов движения
увеличивается до (2л - 1). Уравнение Гамильтона - Якоби обычно
разделяется в нескольких системах координат, что соответствует различным
возможностям выбора л переменных действия из совокупности (2л - 1)
независимых интегралов движения. Для систем, допускающих разделение
переменных гамильтониан Н имеет вид
H = F(2n,Jj),
где Jj = $ Pjdqj - так называемые адиабатические инварианты. Начнем с
рассмотрения простейшего примера
А. Двумерный осциллятор. Это система, описываемая гамильтонианом
н = ~ (Pi +pl) + - ("1 <Л +^lql),
2 2 (2.6.2)
Н ~ СО \J\ "1" Ct?2 J2 •
Такая система обладает интегралом движения
I\ = - (Pi +^i<?i) ^ИЛИ /2 = - (pi +colql)j. (2.6.3)
Здесь следует различать два случая:
а) отношение с^/сог иррационально. В этом случае второй глобальный
дополнительный интеграл движения отсутствует, а траектория на плоскости
qlt q2 всюду плотно заполняет прямоугольник - а < qt < а, -b<q2<b\
б) отношение coi/co2 рационально: coi/со2 = rjs, где г и s - целые
взаимно простые числа. Система допускает помимо интеграла (2.6.3)
*)В соответствующей квантовомеханической задаче при этом обычно возникает
вырождение уровней.
108
второй глобальный дополнительный интеграл движения h = a fa],
(2.6.4)
где
1 1
Ч\ = --- -- (р 1 +icorqi), а2 = -- (Рг - icosq2). (2.6.5)
\/2сor V 2сos
Этот интеграл имеет степень (г + s) как по импульсам, так и по
координатам. Все траектории системы замкнуты. Они даются так называемыми
кривыми Лиссажу (см. [1]).
Относительно случая изотропного осциллятора, когда все частоты со/ равны
между собой, см. раздел 2.7.
Б. Центральное поле. В этом случае ответ на интересующий нас вопрос был
найден Бертраном в 1873 г. [123].
Теорема 2.6.1. При движении частицы в центральном потенциальном поле все
финитные траектории такой системы являются замкнутыми лишь для
потенциалов U(r) = -air (а > 0) и U(r) - кг2 (к > 0).
Доказательство. Рассмотрим частицу единичной массы, движущуюся в
центральном поле U(r) с моментом количества движения/. Тогда радиальное
движение определяется эффективным потенциалом
Vl(r) = U(r)+l2l2r2. (2.6.6)
Предположим, что потенциал U(r) является потенциалом притяже-
ния (U'(г) > 0). Тогда потенциал К,(г) будет обладать локальным минимумом
при г = a (V'i(a) = 0) и можно так выбрать начальные условия, чтобы
частица двигалась по круговой орбите г - а. Для этого необходимо, чтобы
l2=a3U'(a). (2.6.7)
Угловая частота вращения частицы по орбите находится из
условия
coo a = lf(a), col =а~1Ц'(а). (2.6.8)
Рассмотрим теперь траекторию, близкую к круговой. Тогда частота
радиальных колебаний определяется соотношением
со] = V',' = U" + З/2 /д4 = U" (а) + За U'(a). (2.6.9)
Траектория частицы будет замкнутой кривой, если эти частоты соизмеримы,
т.е.
coi=vco0, v - рациональное число. (2.6.10)
Весьма существенно при этом, что в силу непрерывности число v не
зависит от формы орбиты, является характеристикой данного потенциала.
Из (2.6.8)-(2.6.10) получаем
U"(r) = (v2 -3)r-'U'(r), (2.6.11)
т.е. потенциал U(г) является степенным:
U(r) = ¦ (i = v2-2. (2.6.12)
109
Рассмотрим теперь произвольную орбиту.
Из рассуждений, аналогичных предыдущим, следует, что при изменении г от г
1 = rmjn до г2 = rmax угол поворота Д</> = п/и. Отсюда получаем
соотношение
"г dr
Д*,=тг/п=/ /-===== , (2.6.13)
г2ф.(Е - U) -1 /г
которое после замены г=гх1р принимает вид 1 dp ж
/ ----------- = - . (2.6.14)
/2 Er\ 7r\ "
Рассмотрим сначала случай 0 = и2 - 2 > О, U = C\rv ~2. Устремив Е к
бесконечности, получаем
1 dp ж ж
