Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 43

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 88 >> Следующая

Относительно поведения геодезических на поверхностях типа Лиувилля см.
работу [240].
2.7. Гармонический осциллятор
Многомерный гармонический осциллятор описывается гамильтонианом
н=~ 2 О,- +Ч-<7,-)> (2.7.1)
2 / = 1 7 77
где сOj - частоты колебаний. Интегрирование уравнений движения для такой
системы тривиально. Мы все же рассмотрим эту систему, поскольку она
является простейшей системой, обладающей ''скрытой" симметрией.
Многомерный осциллятор обладает (л - 1) дополнительным квадратичным
интегралом движения:
/у = i (р2 + ьЛц2), / = 1,.. ., л; 2 /у =Я. (2.7.2)
Если все частоты со;* несоизмеримы друг с другом, т.е. равенство
2лусоу = 0, (2.7.2')
где Лу - целые числа, выполняется лишь в том случае, когда все лу
равняются нулю, то, помимо интегралов /у, других однозначных интегралов
нет и ''скрытая" симметрия отсутствует.
А. Изотропный п-мерный осциллятор. В другом предельном случае все частоты
ссу соизмеримы между собой. Тогда существует (л - 1) дополнительный
интеграл движения и все траектории системы будут замкнуты. Особенно
простым является случай, когда все ссу равны между собой: сOf = со, это
случай так называемого изотропного осциллятора. Полагая со = 1, имеем
Н = ^ 2 (р2 +<72). (2.7.3)
2 / = 1 7 7
Очевидной группой симметрии этого гамильтониана является группа вращений
л-мерного пространства - группа SO (л). Она, однако, не объясняет факта
замкнутости траекторий. Гамильтониан (2.7.3) инвариантен также
относительно группы SO (2л) - группы вращений 2л-мерного фазового
пространства. Эта группа, однако, не является группой инвариантности
нашей задачи, поскольку преобразования из SO (2л), вообще гово-
113
ря, не сохраняют стандартную симплектическую форму
2 dp/ A dqj. (2.7.4)
/ = 1
С другой стороны, линейные однородные преобразования 2л-мерного
пространства, оставляющие инвариантной форму (2.7.4), образуют, как мы
знаем, симплектическую группу - группу Sp(2n, IR).
Поэтому группой симметрии рассматриваемой задачи будет группа, являющаяся
пересечением групп SO (2 л) и Sp(2n, 1R). Эта группа является
максимальной компактной подгруппой в некомпактной группе Sp(2n, IR) и,
как оказывается (см., например, [1]), она изоморфна группе U (л) - группе
унитарных матриц порядка л.
Для того чтобы увидеть это, удобно перейти к новым комплексным переменным
д.. = Ri-!3L ак = . (2.7.5)
' у/2 ' ¦ V2
Тогда, как нетрудно проверить, величины
А'к = а,-ак (2.7.6)
являются интегралами движения: {А*к, Н) = 0. Эти величины образуют
замкнутую алгебру относительно скобок Пуассона
{А'.,А1 } = /(5' А' - 5' А> ), (2.7.7)
к' т у т к к т'* v/
которая изоморфна алгебре и(л) - алгебре эрмитовых матриц порядка л.
Заметим, что мнимая часть величин А'к дает тензор момента количества
движения а вещественная часть дает сохраняющийся тензор
Qjk=(PjPk+<ij<lk)- (2.7.8)
Отметим также, что не все величины А\ являются независимыми. ' к
Однако среди них имеется (2 л - 1) независимый интеграл движения, что и
объясняет факт замкнутости траекторий.
2.8. Задача Кеплера
В настоящем разделе будет подробно рассмотрена другая динамическая
система, для которой все финитные траектории являются замкнутыми, -
частица в потенциальном поле ньютоновского центра*)
Ufa) = - - , г = | q |, а > 0. (2.8.1)
г
Как будет видно из дальнейшего, замкнутость траекторий является
следствием существования скрытой (динамической) симметрии, которой
обладает рассматриваемая система.
*) Законы движения такой системы были установлены Кеплером [51, 52]
задолго до нахождения Ньютоном [27 ] уравнений динамики.
114
Гамильтониан задачи Кеплера имеет вид
1 , а
Н = - р , р = ОьР2,Рз)- (2.8.2)
2 г
Отсюда следуют уравнения движения
q = p, р = q = -(a/r3)q. (2.8.3)
Гамильтониан (2.8.2) инвариантен относительно группы SO(3) - группы
вращений трехмерного пространства. Отсюда следует, что компоненты вектора
момента количества движения
l=[q,Pl, (2.8.4)
являющегося векторным произведением векторов q и р, являются
сохраняющимися величинами.
Заметим, что, как уже отмечалось в разделе 2.6, все финитные траектории,
которые при а > 0 существуют и отвечают энергии Е < 0, являются
замкнутыми. Это указывает на существование скрытой симметрии и
соответственно существование дополнительных интегралов движения, при: чем
полное число функционально независимых интегралов движения равно пяти.
Действительно, как нетрудно проверить, компоненты вектора А = [1, pi +
(a/r)q, (2.8.5)
где 1 дается формулой (2.8.4), являются интегралами движения.
Этот результат был впервые получен Лапласом в 1799 г. [53], развившим
общий метод нахождения интегралов движения. Идея этого метода сводится к
следующему.
Пусть /(р, q) - интеграл движения. Тогда
dl , / Ы а Ы \
- = { Я, / } = 2 (------р.------------- q/ ), (2.8^6)
dt j \dqj ' r3 dp/ V
Разложим I(p, q) по однородным полиномам степени к относительно р:
оо
I(p,q)= 2 Ik(p,q). (2.8.7)
к = О
Из (2.8.6) получаем систему уравнений
_ ЭУ) Ып а д1п+ 2
2 - q/ = 0, 2-=- р/ = - 2 q,. (2.8.8)
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed