Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
/ 91 \
= (^1 Ч> J = ig'?x(qk-qi)(VkW-'Pi'Pk)- (3-2.5)
9 Qk V Э qk / i
С помощью этих соотношений выражение для скобки Пуассона можно привести к
виду
{\,p} = ig 2 (*Рк фк^к! - <Рк ^к^кдх (як ~ Qi) • (3.2.6)
fc, /
где
Кк1 = <РкФ1- ФкФь Rkl = -Rlk- (32.7)
С другой стороны из уравнений (3.2.2) находим
Vk'l'k=ig(^- РУ1 2x(qk-qi)Rik. (32.8)
/
Подставляя выражение для tpkФк и 'Рк'Фк в уравнение (3.2.6)
{X, р) =g2(X - ру1 2 2 R,kRkj [*'(?/ - Qk)x(qk - Qi) -
к i ф j
- x(qj - qk)x\qk - ?/)] (3.2.9)
и используя функциональное уравнение (3.1.9), преобразуем это соотношение
к виду
{X, р) = g2(p - X)-1 2 R,kRki [*(?j - Qk) - ziflk - ?,)] x(q} ~ Qi) ¦
к,1Ф I ¦
(3.2.10)
Равенство (3.2.10) содержит две суммы. В первой из них выполним
суммирование по I, а во второй по /. Воспользуемся теперь соотношением
8 %x(qj - q,)R,k = -WkVj + iWk Ф/ + iPfRfk (3-2.11)
и соотношением, комплексно сопряженным к нему. Принимая во внимание
четность функции z(q) , получим
{X, д } = ig(p - Х)-1Х 2 ($kVjRkj + 'l'kVjRjk)z(Qj-Qk)-
j Ф к
-Щр-Ху'р 2 (Vk$jRkj + Vk'I'fR/k)2^/ ~ Qk) ¦ (3.2.12)
j Ф к
Нетрудно видеть, что выражения, стоящие под знаком первой и вторюй суммы,
антисимметричны. Следовательно, { X, д } = 0 и системы типа IV вполне
интегрируемы.
Помимо интегралов 1к полезно рассмотреть также другой набор интегралов
/г, которые определяются формулой
det(L + \Г) = X" + 2 /fcX" ~ к. (3.2.13)
к = 1
133
Из формул (3.1.5) и (3.2.13) следует, что интегралы 1к и связаны теми же
соотношениями, что и обычные симметрические функции, т.е. формулами
Ньютона
4=4--4-г4 + • • •-(-1)*"1А-4-1 -(-i)fcfc4- (3-2.14)
С их помощью нетрудно выразить величинычерез величины
Для систем типа I-IV для интеграла Jn известно простое представление
[277, 308]
(я2 9 9 ] п
4=ехр -- 2,v(qk-q,)----| П р,. (3.2.15)
I 2 к, I Ърк dpi ) / = 1
Остальные интегралы получаются с помощью рекуррентной формулы
к -1---- ,
л-Л+11/=1
- ( X qj, /*} =( V 2 - Vk-
: + 11 i = 1 1 У(п - к +1) / \ / = 1 9 Pi /
(32.16)
В работе [308] инволютивность была доказана с помощью этого представления
интегралов движения.
3.3. Явное интегрирование уравнений движения для систем типа I и V с
помощью метода проектирования
В предыдущем разделе было показано, что многочастичные системы типа I-V
являются вполне интегрируемыми. Однако теорема Лиувилля, из которой
следует это утверждение, не дает конструктивного метода интегрирования
уравнений движения.
Как уже отмечалось в гл. 1, в ряде случаев уравнения движения можно
проинтегрировать явно с помощью нового метода, предложенного в работе
[94], так называемого метода проектирования.
Идея метода заключается в рассмотрении системы с п степенями свободы как
проекции другой системы с бо'льшим числом степеней свободы, уравнения
движения которой имеют более простой вид и легко интегрируются. После
соответствующего проектирования на "-мерное подпространство мы приходим
уже к движению в потенциальном поле
- ¦ • ,qn)=g2 2 v(qj - qk) > /<с к
где u(?) дается формулами (3.1.14) (I-III) .
Этот подход вьмвляет причину интегрируемости рассматриваемых систем. В
частности, как было показано в работах [94, 95], системы I-III являются
проекциями систем, описывающих свободное движение (геодезический поток) в
некоторых симметрических пространствах нулевой, отрицательной и
положительной кривизны соответственно, причем размерности этих
пространств значительно больше числа степеней свободы исходной системы.
134
В настоящем разделе мы рассмотрим, следуя работе [94], системы IhV, т.е.
системы с i>(?) = ?-2 и ц(|)= ?-2 + со2 ?2 соответственно. Относительно
простейшего случая одной степени свободы см. раздел 1.9.
Для того чтобы получить систему не с одной, а с многими степенями
свободы, рассмотрим свободное движение в матричном пространстве Х" = { х}
- пространстве эрмитовых матриц порядка п с нулевым следом. Уравнения
движения здесь имеют вид
х=0, (33.1)
общее решение которых
x=at + Ъ, a,beX°. (3.3.2)
Приведем теперь эрмитову матрицу х с помощью унитарного преобразования и
к диагональному виду Q:
x(t)= "(0С(0"''(0, ц+=ц-1. (3.3.3)
Здесь
Q(t) = diag ,?"], (3.3.4)
и без ограничения общности можно считать, что величины qj упорядочены: ql
<С q2 < . - • < qn. Отметим, что в простейшем случае п = 2, х = = 2,XjOj
(оу - матрицы Паули), ?7= diag(-?, q) и q = | х |, т.е. переход /
от х к Q можно назвать сферической проекцией.
Попробуем теперь вывести уравнения для qj (t) и pj (t) = qj (t).
Дифференцируя уравнение (3.3.3) по времени,получаем
u(t)L(()u~1(t) = a, (3.33)
где
L=P + i[M,Q], (3.3.6)
P=Q, M = -iu'1u, (3.3.7)
L иM - эрмитовы пХп матрицы.
Дифференцируя по t уравнение (3.3.5), получаем
i + i[M,L]= 0, (33.8)
т.е. уравнение Лакса. Фактически уравнение (3.3.8) эквивалентно уравнению
(3.3.1).
Напротив, предположим, что мы имеем пару матриц Лакса L(t) и M(t),
связанных соотношением (3.3.6) и удовлетворяющих уравнению Лакса
(3.3.8). Пусть u(t) - это решение уравнения и = -Ши, м(0) = /, и пусть
