Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
находящуюся в пучке света, и направлено по потоку радиации; оно отлично и
от комптоновского воздействия на электрон, расположенный в пучке, которое
также преобладает в направлении распространения света.
§ 114. Гравитационное воздействие светового пакета
а) Вид интервала вблизи траектории светового пакета, проходящего
конечный отрезок пути. Перейдем теперь к рассмотрению гравитационного
поля вблизи траектории импульса излучения. Это более сложный случай, чем
случай стационарного пучка, поскольку создаваемое поле не будет теперь
статическим, и поэтому нам придется явно использовать запаздывающие
потенциалы, чтобы найти гравитационное возмущение, производимое
движущимся пакетом.
Рассмотрим пакет длиной К с линейной плотностью рис пренебрежимо малым
поперечным сечением. Будем считать, что он распространяется по оси х от
точки х=0 до х=1. Эти точки
d*y
2р/
(113.11)
286
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
могут рассматриваться либо как положения излучателя и поглотителя
соответственно, либо просто как точки, ограничивающие некий изучаемый
отрезок пути луча, в пренебрежении эффектами от различных его частей,
лежащих вне изучаемого отрезка. Мы будем также пренебрегать (как и
прежде) малыми гравитационными эффектами, которые могут возникать от
излучателя или поглотителя, а также от возможных изменений их состояния.
Такого рода ограничения оказываются необходимыми, чтобы обеспечить
существование решения задачи. В частности, ниже мы придем к выводу, что
метод, использованный нами для разрешения поставленной задачи, применим
лишь в том случае, когда траектория импульса имеет конечную длину.
Выберем для простоты временную шкалу так, чтобы в момент времени /=0
передний фронт импульса пересекал точку х==0. Тогда в любой более поздний
момент времени передний фронт находится в точке x=t, а задний фронт - в
точке x=t-К, поскольку скорость распространения света принята равной
единице.
Зададим теперь в непосредственной близости от траектории пакета некоторую
точку и вычислим с помощью уравнения
(112.5) гравитационное поле, создаваемое импульсом в этой точке к моменту
времени t. Поскольку в указанном выражении для гравитационного поля
следует использовать запаздывающие потенциалы, то будем считать, что в
точке х-а находится передний фронт импульса, а в точке х=Ь - задний в тот
момент времени, когда пакет создает гравитационное возмущение,
достигающее точки х, у, z в момент времени t. Тогда с помощью
(112.5) находим, что гравитационные потенциалы в точке х, у, z в момент
времени t равны
-/!" - • - hu = hlt = hu 4 f M-' :=
= "Г"_______4p du______ _ . ln [(* - a)1 + y'1 + g3l' * - (x - a)
J ,[(* - ч)1 + у* + г"]1-2 [(<-Ь)* + Уа + г*11,2-(*-6)
'
u-b
(114.1)
Для того чтобы вычислить интеграл, надо задать координаты а и b как
функции времени t. Сделать это при нашем выборе точки начала отсчета
времени очень просто, так как значение а-х определяет не только положение
переднего фронта импульса, когда он порождает гравитационное возмущение,
достигающее точки наблюдения в момент времени t, но означает также и
момент времени, в который это возмущение создается. Следова-
$ 1)4. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ СВЕТОВОГО ПАКЕТА 28Т
тельно, (t-а) - это интервал времени, за который гравитационное
возмущение проходит расстояние от переднего фронта импульса до точки
наблюдения. Поскольку поле распространяется с единичной скоростью, имеем
(t-a)2= (х-а)2-Н/2-Нг2.
Разрешая это соотношение относительно а, получаем
t* - х* - уг - г2
2 (<-*)
Точно так же для b получаем выражение
(/ _ ?.)2 - л-2 - у2 -;
2 {t - л - х)
(114.2)
(114.3)
При нашей постановке задачи эти формулы для а и Ь, определяющие положения
переднего и заднего фронтов пакета, применимы лишь в том случае, когда
фронты находятся внутри исследуемого отрезка х- (0, /). Так как пакет
начинает проходить этот отрезок пути в момент времени / = 0 и поскольку
величина [x2-\-y2-\-z2\h определяет, очевидно, время, за которое
гравитационное возмущение распространяется от начальной точки до точки
наблюдения х, у, z, мы должны в соответствии с нашей договоренностью
полностью пренебречь гравитационным возмущением, создаваемым импульсом за
время, предшествующее моменту t = [а2 + у2 + г2]1/2; поэтому положим
Ь = О
ОТ / = [А2 + # + а2]1 2 (П44)
ДО t = [А2 + уг + z2]12 + %.
Точно так же, поскольку мы не принимаем во внимание гравитационное
воздействие, производимое импульсом, когда он уже прошел точку х - 1,
будем считать, что
а = / |от * = * + [(/-а)- + t/2 + z2]1/2 (П45)
[до t = l + 1(1 - А)2 + У2 + г2)Ш +
и полностью пренебрежем гравитационным воздействием, создаваемым в более
поздние моменты времени.
Подставив теперь найденные выражения для а и b в (114.1), получим явный
вид гравитационных потенциалов в точке х, у, г
288
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
в заданный момент времени t:
hn = - hu = hit = h
44 - '<•14
41
= 4p In
4p In
t - X
[x2 +y2 + z3]1/* -X
