Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 108. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
275
Оператор gaP( )ар, стоящий в левой части этого выражения, является
обобщением оператора Даламбера из нерелятивистской теории
52 д2 д2 д2
дх2 ду2 dz2 dt2'
так что уравнение (108.1) можно рассматривать как аналог волнового
уравнения из обычной электромагнитной теории.
Вводя естественные координаты в рассматриваемой точке и замечая, что
производные от символов Кристоффеля в этих координатах не
исчезают, в то время как сами символы равняются
нулю, перепишем (108.1) в виде
gap
с д т^е с д
- - ivn + 2R^aEFca-ReilF?V + R%Feil. (108.2)
В естественных координатах, однако, компоненты тензора задаются
непосредственно через напряженности полей согласно
(46.9) и (46.10). Следовательно, в отсутствие тока /ц и в пределе
исчезающе малых напряженностей волновое уравнение, записанное в
естественных координатах, принимает свой обычный вид: д2 F д2 F д2 F д2 F
° ГЦУ ° ° ГЦУ | ° ГВУ _ п мпя'п
дх2 ду2 дг2 dt2 (108.3)
соответствующий единичной скорости распространения электромагнитных
возмущений. Интересно отметить, однако, что этот результат получен лишь
при исчезающе малых напряженностях полей, а следовательно, при исчезающе
малых интенсивностях электромагнитных возмущений.
С помощью уравнения (108.3) можно дать новое подтверждение того, что путь
светового луча можно определить в пространстве- времени геодезической
линией, для которой ds = 0. Решение уравнения (108.3), соответствующее
плоской волне, имеет вид
Отт
F^ = A cos-j-(lx + my + nz -t), (108.4)
где Л - амплитуда, I - длина волны, I, т и п - направляющие косинусы,
причем первые и вторые производные от всех этих величин исчезают. Этой
волне в терминах геометрической оптики отвечает луч, распространяющийся с
единичной скоростью
-dx2-d y2~dz2 -}-dt2 = 0,
при том условии, что
dt2 " dt2 dt
d2x _ d2y d^z ___________
' лг ' 0>
18*
276
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
если описание производится в естественных координатах х, у, z и t. Этот
результат, однако, можно переписать в виде, пригодном для всех систем
координат, если принять, что во всех системах координат траектория
светового луча является геодезической с дополнительным условием ds = 0.
Таким образом, наш первоначальный вывод получил дополнительное
подтверждение.
§ 109. Тензор энергии - импульса изотропного излучения
Рассмотрим теперь некоторые вопросы, связанные с тензором энергии -
импульса, для различных распределений электромагнитного излучения.
Известно, что случай неупорядоченного, хаотического электромагнитного
излучения можно рассматривать с помощью механических величин, применяемых
при описании идеальной жидкости. В § 85 мы уже указывали, что обычное
выражение для тензора энергии - импульса идеальной жидкости*)
T'lv = (Poo~-(109.1)
можно использовать и в случае равновесного электромагнитного излучения.
Плотность и давление такого излучения, измеряемые локальным наблюдателем,
относительно которого нет потока энергии, связаны простым соотношением:
роо=3ро, (109.2)
а величины dx^/ds, стоящие в (109.1), являются компонентами скорости
этого наблюдателя относительно выбранной системы отсчета.
Рассматривая равновесное электромагнитное излучение как идеальную
жидкость и находя таким образом тензор энергии - импульса этого
излучения, мы поступаем не вполне корректно ввиду макроскопического
характера такого подхода. Тем не менее интересно убедиться в том, что мы
получим тот же самый результат, если соответствующим образом усредним
[72] микроскопическое выражение для электромагнитного тензора энергии-
импульса, найденное в § 104.
Введем для этого систему собственных координат, относительно которой в
данный момент в рассматриваемой точке полный поток энергии равен нулю. В
такой системе координат компоненты тензора энергии - импульса, если его
рассматривать с микроскопической точки зрения, выражаются классическим
образом через напряженности электрического и магнитного
*) Дальше Толмен использует термин "fluid" более широко. Иногда он
переводится как "материя". (Прим. ред.)
§ 109. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСЛ ИЗОТРОПНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 277
полей, например (§ 104):
Тп = -\[е\-е1-е\- |- Hi -Н2У- Н2гI.
Г2=-(ЕХЕУ+НХНУ),
(109.3)
Т1*=(ЕуНг-Е,Ну),
Т11 == ~ (El + Е2у El + Hi + Hi + Hi).
Чтобы можно было перейти от этих формул к соответствующим
макроскопическим величинам, надо, чтобы в среднем были справедливы
соотношения
Е\^Е\ = Е\ и Н\ Hi = Н\, (109.4)
в силу того что усредненные напряженности разновесного излучения не
должны зависеть от направлений. Смешанные произведения окажутся равными
нулю:
ExEy=EyEz=EzEx=0 и HxHy=HyHz = HzHx=0, (109.5)
поскольку отсутствие фазовых соотношений делает положительные и
отрицательные мгновенные значения такого типа произведений
равновероятными; кроме того,
ЕуНг-EzHy=EZHX-EXHZ=ЕХНУ-ЕУНХ-0, (109.6)
ибо система координат выбрана так, что в среднем поток энергии равняется
нулю.
Применяя найденные правила усреднения к выражению для макроскопического
