Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Введение же четырехмерной формулировки второго
238
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
закона термодинамики было первым шагом в направлении ковариантного
обобщения.
В этой главе мы рассмотрим обобщение термодинамики в общей теории
относительности и некоторые применения построенной таким образом
релятивистской термодинамики. Для этого надо только обобщить развитую
нами выше термодинамику специальной теории относительности путем, который
кажется весьма простым и естественным. Поскольку релятивистская
термодинамика была получена непосредственно из классической, можно быть
уверенным в полученных результатах. Мы окончательно утвердимся в этом
мнении, когда увидим на конкретных примерах, что выводы релятивистской
термодинамики и релятивистской механики согласуются друг с другом.
Поскольку способы обобщения классической термодинамики как на базе
специальной, так и на базе общей теории относительности почти очевидны и
даже тривиальны, можно было бы ожидать, что заключения релятивистской
термодинамики не должны качественно отличаться от заключений классической
теории. Однако мы увидим, что из-за существенных различий между
классическими и релятивистскими пространственно-временными
представлениями в релятивистской термодинамике появляются качественно
новые выводы. Это происходит тогда, когда размеры исследуемых систем
настолько велики, что гравитационная кривизна становится существенной.
§ 118. Релятивистский аналог первого закона термодинамики
Первый закон классической термодинамики мы обычно выражаем в виде
требования
д E=Q-A. (118.1)
Это соотношение можно рассматривать, во-первых, как закон сохранения
энергии, поскольку оно связывает полное изменение энергии системы с
количеством энергии, переданным через границу системы. Во-вторых, в этом
соотношении отражено наличие двух способов передачи энергии - путем
переноса ее тепловым потоком и за счет выполнения работы. Последнее
обстоятельство окажется особенно важным для дальнейших применений второго
закона термодинамики.
В релятивистской термодинамике, по аналогии с тем, как выводится
классический первый закон, мы должны прежде всего удовлетворить общим
принципам релятивистской механики, что, как мы уже видели в главе VII,
приводит к нужному обобщению классических законов сохранения энергии и
количества движения [76].
§ 119. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛОГ ВТОРОГО ЗАКОНА 299
Напомним, что все законы сохранения релятивистской механики содержатся в
уравнениях Эйнштейна
- 8л7^ = R"* - \ Rg^ -т Ag|iv, (118.2)
связывающих тензор энергии - импульса с геометрией простран-
ства- времени. Далее, мы знаем, что тензорная дивергенция правой части
этого выражения тождественно равняется нулю. Поэтому уравнения поля сразу
приводят к уравнениям механики, записанным в привычной форме, а именно:
(7>v)v=0 (118.3)
и
L о. дВ _ q /11044
дх* 2 3 (118.4)
Используя псевдотензорную плотность потенциальной энергии и импульса
перепишем это выражение так, чтобы по виду оно совпадало с выражением
классического закона сохранения энергии - импульса:
д + t?)
дх
.V
0. (118.5)
Потребуем теперь, чтобы все термодинамические процессы подчинялись
законам механики в форме (118.5); тем самым мы введем в термодинамику
вместо классических законов сохранения энергии и импульса -
релятивистские. Заметим, что в классической термодинамике закон
сохранения импульса не было нужды использовать явным образом, поскольку
она ограничивалась рассмотрением лишь покоящихся систем.
Для полной аналогии с классическим первым законом термодинамики нам нужно
еще установить и в релятивистском случае различие между тепловым потоком
и совершаемой работой. Однако решение этого вопроса пока придется
отлождть, так как существо этого различия станет ясным лишь в ходе
релятивистского обобщения второго закона термодинамики.
§ 119. Релятивистский аналог второго закона термодинамики
Начнем с того, что выпишем четырехмерную формулировку второго закона
термодинамики, данную в § 71 в галилеевых координатах-.
^{ч^)ЬхЬУЬгЫ>^Т7- (119Л>
Здесь ф0 - собственная плотность энтропии в заданной точке в интересующий
нас момент времени, измеряемая локальным
300
ГЛ. IX. релятивистская термодинамика
наблюдателем, покоящимся относительно термодинамической жидкости или
рабочего вещества; dx^/ds- компоненты макроскопической "скорости"
жидкости в данной точке в используемых координатах; бQ0 - собственная
теплота, измеряемая локальным наблюдателем, которая поступает в изучаемый
элемент жидкости при собственной температуре Т0 за интервал времени
наблюдения, входящий в формулу четырехмерного объема SxSySzbt, а два
знака--равенства и неравенства - относятся к случаям обратимых и
необратимых процессов соответственно.
Кроме того, чтобы получить релятивистский аналог второго закона, надо
привлечь обе фундаментальные идеи общей теории относительности,
выражаемые принципом ковариантности и принципом эквивалентности. Согласно
принципу ковариантности выбираемые аксиомы должны быть записаны в виде,
