Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
где j) - плотность излучаемой энергии в рассматриваемой точке, в которой
введены естественные координаты.
§ 112. Гравитационное поле направленного потока излучения
Полученное выше выражение для тензора энергии - импульса направленного
потока излучения позволяет определить создаваемое этим излучением
гравитационное поле. Это возможно, однако, лишь для достаточно слабых
полей, когда справедливы эйнштейновские приближенные решения уравнений
поля, приведенные в § 93.
Метрический тензор в этом случае выражается в виде
6|iV"|-/inv, (112.1)
где 6|1V - постоянные галилеевы значения g"": ±1, 0, a hMV - малые
добавки первого порядка. Введем теперь величины
hi - 6хХа- h = h% = б°Хл, (112.2)
где 6^v - галлилеевы значения тензора g^. Приближенные решения уравнений
поля при этом записываются следующим образом:
(hl-±blhy-=~-i^^dxdydz, (112.3)
где интегрирование должно производиться по всему пространственному
объему, г обозначает расстояние от элемента интегрирования dxdydz до
точки, в которой мы хотим определить величину а квадратные
скобки означают, что величи-
на в элементе интегрирования относится к моменту времени более раннему,
чем тот, для которого мы проводим вычисления, на интервал, равный
времени, необходимому, чтобы сигнал прошел путь от объема dxdy dz до
точки наблюдения.
Далее, в приближении, которое мы используем, можно подставить в (112.3)
выражение тензора в естественных координатах (111.3), поскольку -
величина первого порядка,^ а выбранные координаты совпадают приближенно в
каждой рас-
§ 113. ГРАВИТАЦИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЕ ПУЧКА СВЕТА
281
сматриваемой точке с естественными координатами. Таким образом, для
потока излучения, направленного по оси х, мы получим систему уравнений
Теперь с помощью (112.2) легко получить решение этих уравнений:
Остальные компоненты /iMV равны нулю.
Найденное решение определяет гравитационное поле потока излучения,
направленного по оси х, если поле достаточно слабое и использование
эйнштейновских приближенных решений оправдано.
Вряд ли, однако, мы встретимся с нарушением этого условия в полях,
создаваемых природными или искусственными пучками или импульсами
излучения.
а) Интервал в окрестности ограниченного пучка света. Найденное выше
выражение для гравитационного поля, создаваемого направленным потоком
излучения, естественно попытаться применить для вычисления поля вблизи
бесконечно длинного пучка света, протяженного, скажем, вдоль оси х от
минус до плюс бесконечности. Это невозможно, однако, выполнить с помощью
развитого метода, поскольку интегрирование в формуле
(112.5) приводит в данном случае к бесконечным значениям /г^, что
вступает в противоречие с приближением, в котором получены решения
уравнений.
Эта трудность, однако, не возникает, если рассматривать тонкий пучок
излучения конечной длины I и постоянной линейной плотности р, который
распространяется вдоль оси х от источника, находящегося в точке ж-0, до
поглотителя, расположенного в точке х=1. Из формулы (112.5) следует, что
вклад излучения в гравитационный потенциал любой точки х, у, z,
(112.4)
hn - -- Л44 - /il4 - Л414 ^ ^-. (112.5)
§113. Гравитационное воздействие пучка света
282
ГЛ. V1J1. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
находящейся вблизи пучка, равняется
-hu = -hH = h" = hu = 4$!р1^ =
j' ______4pdu_________ 4р Jn [(< - х)а + у"+ га1' + (/ - *)
1(х- и)1 + уа + гЧ [¦** + У2 + г2] -х
(113.1)
Отсюда видно, что в том случае, когда пучок имеет конечную длину I,
рассматриваемые величины могут быть сделаны сколь угодно малыми, если
сделать малой плотность излучения р.
Следует отметить, что выражение (113.1) получено в предположении о
стационарности пучка излучения, так что не было нужды явно вводить
запаздывающие потенциалы. Отсюда, однако, следует, что полученное
выражение неприменимо для моментов времени, близких к моментам
возникновения или исчезновения пучка. Надо также помнить, что мы
предположили, что излучение распространяется только вдоль оси х,
пренебрегая дифракционными эффектами на границе пучка. И наконец, укажем,
что рассматриваемое выражение дает вклад в поле лишь самого пучка
излучения и пренебрегает вкладами от тел, являющихся источниками или
поглотителями этого излучения. Последнее означает, что игнорируются также
любые эффекты, возникающие вследствие изменений в движении или во
внутреннем состоянии этих тел, которые могут быть связаны с потоком
излучения. При выполнении всех этих условий можно считать, что формула
(113.1) определяет гравитационное поле в окрестности пучка света конечной
протяженности.
б) Скорость пробного светового луча вблизи пучка. Для того чтобы
определить характер гравитационного поля вблизи пучка, рассмотрим сначала
движение пробных световых лучей, а затем движение пробных частиц вблизи
пучка.
Чтобы исследовать поведение пробных лучей, выпишем с помощью выражения
(113.1) формулу интервала вблизи пучка:
ds2 = - (1 - hn) dx2 - dy2 - dz2 + (1 + hn) dt2 - 2/iu dx dt.
