Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
очевидно, можно выразить интервал в стандартной сферически симметричной
форме:
ds2--eKdr2-r2dQ2-г2 sin2 0 d<p2-f e'dt2, (107.1)
где к и v - функции только от г, исчезающие при больших значениях г. Для
того чтобы отыскать к и v, рассмотрим сначала электрическое поле,
окружающее частицу.
Так как потенциал фц в нашем случае - функция только от координаты г, то,
подставляя эту функцию в выражение (102.5), которое вводит через этот
потенциал полевой тензор Fнаходим, что единственными ненулевыми
компонентами этого тензора могут быть
/•21 = -Fl2, /*31 = -F\3, /*41=-F14-
Легко, кроме того, показать, что первые две компоненты также должны
исчезать. В самом деле, подставляя F2\ во второе из двух полевых
уравнений (106.1), найдем, что в пространстве, окружающем частицу,
справедливы соотношения
*?г=Тг [в"8"Т!,ТТ=7] = |(f!lC"5tt-,,sin0) = O,
откуда
Fn - const -e
Аналогичным образом можно получить выражение для F3l. Далее, известно,
что на больших расстояниях от частицы, где к и v стремятся к нулю и
становятся справедливыми обычные уравнения для электромагнитного поля,
компонента F2l должна обращаться в нуль. (Это следует из ее определения
через напряженность магнитного поля.) Поэтому константу в последнем
выражении надо положить равной нулю, откуда вытекает, что F2ь а также и
FS\ равны нулю повсюду.
Чтобы найти единственную неисчезающую компоненту полевого тензора F4l,
еще раз воспользуемся уравнением (106.1):
^ - Гг [""""Г., V=l\ = | (- sin в) = О,
из которого следует:
_ р р _ ?_ 4(>-+v)
41 - г4 , (107.2)
§ J07. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
273.
где е -постоянная интегрирования. Обычное определение /сц через
напряженность электрического поля, справедливое в нашем случае на большом
удалении от частицы, позволяет отождествлять 4яе с зарядом частицы в
принятых нами хевисайдовых, релятивистских единицах.
Получив это выражение для ненулевой компоненты тензора поля, мы можем
теперь подставить его в определение тензора энергии - импульса (104.1). В
итоге найдем
r} = -7l = -7l = rt = ~. (107.3)
Сравнивая затем (107.3) с соответствующими выражениями тензора энергии -
импульса, записанными через % и v в (95.3), придем к системе
дифференциальных уравнений
i512 - _ It. л. L) _ц I
г* ~ с г ' г-2
Г
4яе2 - = *-
4я82
- -е-
'¦(Т-Т^ + Т+Т^)- <'07.4)
Космологическая постоянная А здесь положена равной нулю, поскольку она не
представляет сейчас интереса. Система уравнений (107.4), как легко
убедиться, имеет решение, соответствующее интервалу
~ -2т/Г4-'4ле2/г2 " rW ~ г* ^ +
+ (l - 2 ml г + 4ne2/r2j dt2. (107.5)
Это выражение замечательно тем, что показывает, какой вклад дает энергия
электрического поля, окружающего заряд, в кривизну пространства -
времени. Оказывается, что для любой реальной заряженной частицы на
достаточном удалении от нее гравитационный эффект, возникающий за счет
энергии электрического поля, пренебрежимо мал по сравнению с тем, что
возникает из-за наличия у частицы собственной массы т. Действительно,
если рассмотреть частицу с массой и зарядом, которые обычно приписывают
электрону, то эти масса и заряд дают вклады в кривизну (в соответствующих
единицах), относящиеся как
4л"2/г2 2яе2 1,5-10~13
2 т/г тт
18 р. То;]мен
274 ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
(г сюда следует подставлять в сантиметрах). Итак, мы видим, что
"искривление" пространства - времени, вызываемое наличием заряда,
пренебрежимо мало по сравнению с эффектом, обусловленным массой, исключая
крайне малые расстояния от частицы.
§ 108. Распространение электромагнитых волн
Исследуем теперь механизм распространения электромагнитных возмущений.
При этом мы будем рассматривать пространственное изменение компонент
полевого тензора F^v, имеющих довольно прямой физический смысл, поскольку
изменение компонент потенциала фц интерпретировать гораздо сложнее.
Следуя методу Эддингтона [56], мы можем написать с помощью полевых
уравнений (102.5) и (102.6) (после того, как продифференцируем их по v)
следующее выражение:
Jц\- - Fnav - ga^Mf;av = ga^ (tPupav фрца\')<
По известной теореме тензорного анализа (Приложение III, уравнение (43))
это можно переписать, если ввести тензор Римана- Кристоффеля, в виде
J[iv - ga^ (cPnPva - 9p^va) - Яа!3 (ДцуафвР + ^pvtzTus
ДруаФец ^цуафре') = (фц^ фр|л\'.)а - ga?'{R<llva.F ер - Rfiva.F es^-g^
(фдру фрцу)а R[ivaeF ' RvFey,.
Далее, вычитая из выражения для /,IV аналогичное выражение для Ди,
получаем
J\iv - JviI - ga^ (9npv - фурм. - cPp.uv -Г фрд'Дсх -
- (R[ivxe Rv[ias) R R\'FE(i -f- R^Fey.
Используя теперь свойства симметрии рассматриваемых тензоров и применяя
уравнение (42) из Приложения III, находим
J [iv - Jvp. - (фцур - фvцP + Д^руфе "Г Дуцрфв + ДруцФе)я
- 2RtlvaeFEa - RlFmi + fl°Fev.
И наконец, воспользовавшись циклическими свойствами тензора Римана -
Кристоффеля
Rv.pv Д- Rvm Д- Rlv" - о, приходим к окончательному результату: gaP
(F^v)aj3 = (фцг фvц)pa - J[iv Jvn Д-
+ 2R^Fta - RlRzv + RvFHl. (108.1)
