Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Интересно сравнить эти выражения для компонент тензора энергии - импульса
с соответствующими выражениями (95.3), полученными в статическом случае.
Как указывал Лемэтр, разница только в том, что появляются дополнительные
члены в компонентах поперечных тензоров натяжений Т\ и Т\ и новые
отличные от нуля компоненты Т\ и Т\. Грубо говоря, переход от
статического случая к нестатическому соответствует появлению поперечной
волны, связанной с радиальным потоком энергии.
*) Эти величины для символов Кристоффеля и для компонент тензора энергии
- импульса были вычислены Б. Подольским и автором. Величины для Тц
согласуются с результатами Лемэтра [69], рассматривавшего этот же
интервал.
rii = rji =
Г1
I 44
К
2 ev я v ,
Г44 = у V,
(98.2)
5 98. НЕСТАТИЧЕСКИЙ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 259
Можно, конечно, ввести в рассматриваемом нами случае сферической
симметрии изотропные координаты и предположить, что решение согласно
(94.8) имеет вид
ds2-~ell(dr2-{-r2dQ2-{-r2 sin2 0 dtp2) -\-evdt2,
Символы Кристоффеля, соответствующие этому интервалу, равны:
где штрих опять-таки означает дифференцирование по г, точка - по t, а
символы со всеми прочими комбинациями индексов равняются нулю.
Неисчезающие компоненты тензора энергии - импульса, соответствующие этой
форме интервала, выглядят следующим
ц=ц(г,/), v=v(r, t).
(98.4)
rli=4p',
Г?2 = т- +y9'. Г?з == -
Ги =
l12 = yrV*-vp, Ггз - ctg 0,
(98.5)
Г33 - - sin 0 cos 0,
d3 = yr2sina0^-> т"3 I
1 34 "2" !•*¦"
Г", = 7 + уц'. Г32 = ctg 0,
260
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ механика
образом *): 8яТ! = -
-Л,
8л71> -- 8лТз ¦- - е~>1
(98.6)
§ 99. Теорема Биркгоффа
Выражение (98.3) для тензора энергии - импульса, соответствующее
стандартной форме интервала (98.1), дает возможность получить без труда
важную теорему, даказанную впервые Бирк-гоффом [70].
Рассмотрим сферически симметричное тело, окруженное пустым пространством,
свободным от вещества и излучения. В этом пустом пространстве все
компоненты тензора энергии - импульса (98.3) равны нулю, в частности, и
Т\ 0, откуда вытекает, что
Однако при условии К-0 выражение для тензора энергии - импульса (98.3)
становится по форме идентичным выражению (95.3), найденному в статическом
случае; следовательно, в пустом пространстве, окружающем сферу, опять-
такн справедливо внешнее решение Шварцшильда (§ 96)
где ш, как и раньше,- постоянная, не зависящая от времени, так что
остается справедливым (99.1).
*) Впервые эти величины для символов Кристоффеля и для компонент тензора
энергии - импульса были вычислены Б. Подольским. Впоследствии эти
результаты проверялись Динглем с помощью полученных им более общих
формул, которые приведены у нас ниже, в § 100.
(99.1)
2т Лг2
7 Г'
(99.2)
§ 100. БОЛЕЕ ОБЩАЯ ФОРМА ИНТЕРВАЛА
261
Таким образом, одного только условия сферической симметрии достаточно,
чтобы получить внешнее статическое решение Шварцшильда в пустом
пространстве, окружающем сферу, заполненную веществом*).
В сфере могут происходить сферически симметричные пульсации, не
сопровождающиеся какими-либо потерями массы или энергии, в форме
гравитационных волн. Реальная потеря энергии требует отказа от условия
пустоты пространства вокруг сферы и допущения потоков вещества и
излучения в нем.
§ 100. Более общая форма интервала
В заключение настоящей главы приведем символы Кристоффеля и компоненты
тензора энергии - импульса, соответствующие более общему виду интервала,
которые были вычислены Динглем [71].
Дннгль исходил из следующей формы интервала:
ds2=-A (dx1)2-В (dx2)2-С (dx3) 2-\-D (dx*)2. (100.1)
Здесь А, В, С и D - произвольные функции координат; все эти четыре
функции должны быть существенно положительными, чтобы х1, х2, х3 были
пространственноподобными, а х4- времени-подобными координатами. Эта форма
интервала является более общей, нежели все рассмотренные нами ранее.
Единственное предположение состоит в том, что можно избавиться от
перекрестных произведений; но при этом не предполагается сферической
симметрии.
Символы Кристоффеля, соответствующие такому интервалу, таковы:
1 д А 1 дА 1 дА " 1
1 дА
1 и = + Та Г1 *21 = 4- 2 А дх2 Г1 -431 - - + 2 А
дх3 го = + 2 А дх4
2 11 = - 1 2 в дА дх2 Г2 1 21 - 1 2 В дВ дх1 г2 - Х31 "
= 0 Г2 14\ = 0
3 11 = - 1 2 с дА дх3 Г3 1 21 - 0 11 со со С-н
= + 1 2 С дС дх1 Г3 1 41 = 0
4 1 дА Г4 1 21
1 dD
1 = + 2D дх4 - 0 г4 - 1 31 - = 0
г<41 = + 2D дх'
1 = + 1 дА " 1 1 дВ
12 2 А дх2 F 22 = - 2 А ex'- г' 32 = 0 г"
= 0
О 1 дБ -^,9 1 дВ 1 дВ
1 дВ
л 12 = + 2 В дх1 г 1 22 = + 2 В дх2 I' - _ 1 32 " = +
2 В дх3 г" = + 2 В дх<
*) Теорема Биркгоффа представляет обобщение теоремы Ныотона о том, что
поле сферического распределения масс эквивалентно полю точечного
источника. (Прим. ред.)
262
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Г3 1 12 , 0 Г3 22 = - 1 ав 2С дх2 рЗ 1 32 - . 4- 1 ас 2С дх2
рЗ 1 42 = 0
rf* = 0 Г4 1 22 _j_ 1 ав 2D ах4 Г4 32 = 0 Г442 = +
