Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
dp<> (Poo + Po) v'
(95.13)
dr 2
или в изотропной форме:
ds2 - - e'l{dr2jrr2dQ2-\-r2 sin2 0 dq>2) -f eydt2,
(x=(Ji(r), v=v(r), (95.14)
причем
Snp.-e-^+^ + ^ + A,
"ч-.^Н-'г + т + х + ^ + л,
8"Р" = - (p" + + "T")- Л'
dp о (Poo 4" Po) v'
dr ~ 2
В заключение следует заметить, что, выражая интервал через распределения
плотности и давления, надо помнить, что си-
(95.15)
252
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
стема (95.13) или (95.15) выражает лишь исходные три условия. Это
позволяет нам при разрешении этих систем заменять более сложное из двух
выражений для давления более простым и физически прозрачным выражением
для градиента давления.
§ 96. Внешнее и внутреннее решения Шварцшильда
Прежде чем начать изучение интервалов более сложного вида, покажем, как
использовать соотношения, найденные в предыдущем параграфе, для получения
явных выражений рассмотренных в нем интервалов. В §82 мы уже пользовались
соотношениями (95.3), получив с их помощью выражения для интервала вблизи
точечной притягивающей частицы. Можно, однако, убедиться, что оно равно
применимо и к пустому пространству, окружающему конечную статическую
сферически симметричную систему. Поэтому впредь будем называть этот
результат внешним решением Шварцшильда.
Чтобы получить это внешнее решение, будем исходить из выражения для
интервала (95.1):
ds2--eldr2-rW-г2 sin2 6 d($2-\-e?di2, (96.1)
и положим равными нулю все компоненты тензора энергии - импульса (95.3),
поскольку мы ищем решение для пустого пространства, окружающего сферу из
вещества. Последнее дает нам три дифференциальных уравнения:
- А = 0, (96.2)
которые, как легко проверить, имеют решение, позволяющее представить
интервал в виде (§ 82)
ds2 = " "----2. r4Q2 ~ Г2 Sin2 0 J(P2 +
- е~х j fV_ + 7У-) + 7Г- А = 0,
л->. 1 Г v" XV | %/2л. v' - Я'
4 | 4 | 2 г
е-Ч -тИ А= 0,
+ (i (96-3)
где 2т - константа.
Это решение справедливо повсюду в пустом пространстве вне сферы и должно
переходить внутри сферы в другое решение, зависящее от свойств вещества,
из которого состоит эта сфера.
§ 96. ВНЕШНЕЕ И ВНУТРЕННЕЕ РЕШЕНИЯ ШВАРЦШИЛЬДА 253
Чтобы получить такое внутреннее решение, разберем вслед за Шварцшильдом
частный случай (см. [60], стр. 424), когда рассматриваемая сфера
заполнена несжимаемой идеальной жидкостью, имеющей постоянную
собственную плотность роо-
Тогда в соответствии е (95.13) будем считать, что внутренность
сферы описывается уравнениями
8пр0 = (^ + тг) - 75- + Л, (96.4)
8яр00 = е~% ----тг) + 7г - Л, (96.5)
dp о (Роо Po) v'
dr
(96.6)
Попытаемся их разрешить, используя условие постоянства плотности внутри
сферы роо и предполагая, что давление на границе сферы равно нулю.
Поскольку роо и Л постоянны, второе из уравнений, (96.5), нетрудно
проинтегрировать. Напишем сразу результат (в справедливости которого
легко убедиться, производя дифференцирование) :
р-\ _ 1 Л + 8яр00 , л_ с
з 1 Т'
Здесь С - константа интегрирования; приравняем ее нулю, чтобы уничтожить
особенность в начале координат, и перепишем решение в виде
<^"1 - Ж-= л+кг <96-7)
Далее, имея в виду найти выражение для v, проинтегрируем уравнение
(96.6); результат благодаря постоянству роо оказывается очень простым:
- 1 2v
(Роо + Р о) = cons* е
Комбинируя его затем с выражениями (96.4) для ро и (96.5) для роо,
получаем
е е~х -f -¦'j = const, а подставляя сюда величину е~х из (96.7), приходим
к уравнению
254 гл. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
которое, как мы убедимся в дальнейшем, имеет решение
е" V = А - В У1 - r2/R2 , (96.8)
где А и В - константы интегрирования.
Исходя из (96.7) и (96.8), мы можем теперь записать внутреннее решение
Шварцшильда для жидкой сферы, имеющей постоянную плотность роо, в
следующем виде:
ds2 = - T~7W ~ r4Q2 " Sin2 0 d(p* + {-A~B Vl-rVR2}2 dt2,
(96.9)
или, производя подстановку
sinx=-jrr, (96.10)
в виде выражения
ds2=-R2 (с?х2+sin2 х cf02+sin2 x+sin2 0 dq2) -f-
-f (Л-В cos %)2dt2, (96.11)
из которого следует, что пространственная геометрия внутри жидкости
совпадает с геометрией четырехмерной сферической "поверхности".
Давление, соответствующее интервалу (96.9), легко найти с помощью (96.4).
Выпишем результат:
о " \ ( 3B/T=7w-A\ , . /п" ...
8лРо R* А_в уГГ-г*Г& j ( }
Пренебрегая членами, содержащими Л, которые во всяком случае могут быть
существенными лишь на больших расстояниях от начала координат, мы можем
затем приравнять нулю давление на границе сферы г-г\ и сшить на этой
границе внутреннее решение (96.9) с внешним решением (96.3), придавая
стоящим з них константам следующие значения:
А = ~ ~ Ж' В = ~2~ т = НГ- Poori •
(96.13)
Этим завершается исследование поставленной проблемы.
Для того чтобы найденное решение было действительным, должны выполняться
неравенства
§ 97. ЭНЕРГИЯ СФЕРЫ ИЗ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
255
которые накладывают верхний предел на возможные размеры сферы с данной
плотностью и на массу сферы при данном радиусе. Эти ограничения, однако,
настолько слабы, что до сих пор не привели ни к каким противоречиям с
