Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
тока (102.1) и (102.2) вообще не нуждаются в модификации, ибо, задав эти
векторы в одной из систем координат, мы можем найти их по правилам
тензорных преобразований во всех системах координат. А чтобы получить
ковариантную формулировку самих уравнений, нам следует лишь заменить
обычное дифференцирование ковариаитным. Тогда в качестве уравнений
электромагнитного поля в общей теории относительности получим
= (<Pn)v - (фу)и = (102.5)
и
(102.6)
5 103. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
267
Заметим, что по внешнему виду первое уравнение вообще не отличается от
первоначального, так как оба члена, которые возникают при замене обычного
дифференцирования ковариантным и содержат символы Кристоффеля, взаимно
уничтожаются.
§ 103. Движение заряженной частицы
В дополнение к уравнениям поля надо ввести в теорию выражение,
описывающее движение заряженных частиц. Оно естественно получается путем
ковариантного обобщения пятого фундаментального уравнения Максвелла -
Лоренца (41.4),дающего силу, которая действует на частицу, движущуюся в
электромагнитном поле. Это уравнение принимает следующий вид:
d, I гн 1 dxa <б*р е Fv.dxa _п ПП2П
где е/т0- отношение заряда частицы к ее массе покоя, а К?= =gveFia -
введенный выше тензор электромагнитного поля. Мы убедимся ниже, что это
уравнение учитывает совместное воздействие гравитационного и
электромагнитного полей на частицу.
Чтобы показать, что полученное уравнение является разумным обобщением
обычного способа задания силы, действующей на заряженную частицу, надо
показать, во-первых, что, выражение (103.1) на самом деле записано
ковариантным образом, т. е. что оно справедливо во всех системах
координат, если оно справедливо в одной, и, во-вторых, что оно сводится в
естественных координатах к обычному выражению для силы, действующей на
движущуюся частицу.
Чтобы показать ковариантность выражения (103.1), заметим, что его можно
переписать в виде
/ dx^\ , е "ul I dx'
^" + ^Й]Ы = 0* (Ю3.2)
из которого следует, что оно является тензорным уравнением ранга единица.
Чтобы показать, что в естественных координатах это выражение переходит в
обычную формулу для электромагнитного поля, заметим, что символ
Кристоффеля обращается в нуль из-за исчезновения гравитационных эффектов
в свободно падающей системе отсчета. Используя выражение для тензора поля
Fв естественных координатах (46.9) и вспоминая, что в соответствии с
(20.5) ds/dt можно рассматривать как множитель, характеризующий лоренцево
сокращение У1-и2 (где и - обычная скорость частицы в выбранных нами
единицах), мы можем
268
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
написать вместо (103.1) четыре знакомых нам по форме уравнения:
ft (fffti) = еЕ* + е (иУНz -
ft[$^) = eE, + e{U'H*-uM.
V ' (103.3)
ft = еЕг +г {и*н" - u"Hx)'
Hv^?) = e{UxExlJvU*Ez)'
В принятых нами здесь единицах мы узнаем в этих выражениях обычные
уравнения, описывающие воздействие электромагнитного поля на импульс и
энергию частицы.
§ 104. Тензор энергии - импульса
Для завершения перевода электродинамики Лоренца в релятивистский вид
получим ковариантное выражение для электромагнитного тензора энергии -
импульса. Его выражение через тензор поля F^v дается формулой
[7^] #м = _ Ера + I ар. (104Л)
Легко убедиться, что это выражение действительно удовлетворяет всем
необходимым требованиям. Очевидно, что оно кова-риантно, поскольку
является тензорным уравнением (ранга два). Далее, если использовать
записанное в естественных координатах определение тензора поля F(46.9),
можно найти, что
(104.1) в этих координатах сводится к выражению для тензора энергии -
импульса из специальной теории относительности, т. е. к формулам (46.20)
и (46.21). Приведем для примера несколько типичных компонент [Лп']!)м:
Тп ~ [El -El-El + Hi -Hi- Hi), r*=-{ExEv+HxHv),
(104.2)
T"=(EyH,-EzHv),
Tu- -I (?* + E" + E* + H* +Hl + я')
в системе единиц, где с=1.
Воспользуемся теперь обсужденной уже в § 45 возможностью объединения
одноименных механических и электрических величин. Тогда закон сохранения
энергии - импульса для системы,
§ 105. ОБОБЩЕННАЯ МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
269
обладающей и механическими и электрическими свойствами, запишется в виде
ковариантного соотношения:
(7>v)v= ([T^U,+ [T^]o")v=0, (104.3)
являющегося аналогом выражения (46.22) из специальной теории
относительности.
На этом закончим ковариантную формулировку электронной теории Лоренца,
согласующуюся с требованиями общей теории относительности.
§ 105. Обобщенная макроскопическая теория
Как уже говорилось, электронная теория Лоренца не имеет вполне
законченного вида из-за ее микроскопического характера. Поэтому интересно
показать, что макроскопическую теорию, развитую во второй части главы IV,
можно легко выразить в кова-рнантной форме, пригодной для общей теории
относительности.
Аппарат макроскопической теории в специальной теории относительности
строился с помощью двух антисимметричных тензоров поля F^v и №v и вектора
