Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
OT t = [A2 -f у2 + 22]'
:Va
- 4p In
+ + (*-*) < - Я - A
до t - [x2 -j- if + z2\'2 + k, от t = [x2 + y2 + z2]'' +k (1146)
до t I -\ 1(1 - X)2 f if + z2]72,
от t = I +
+ 1(1- X)2 + if -f za[,;* до t = I +
. + [(/-*•)+ ^+2*]V* + *-•
Из этих выражений видно, почему наши вычисления справедливы лишь для
конечных отрезков траектории. В случае траектории неограниченной
протяженности второе из выражений для гравитационного потенциала, которое
должно быть, очевидно, справедливым для любых моментов времени, на самом
деле обращается в бесконечность в момент времени t=x, когда импульс
проходит через точку наблюдения; это вступает в противоречие с
примененным нами приближенным методом решения уравнений поля. При
рассмотрении конечного отрезка траектории эта трудность исчезает, так как
гравитационное воздействие учитывается лишь с момента времени t-0, т. е.
с момента появления импульса в изучаемой области, который соответствует
времени получения сигнала в точке наблюдения, равному
^ -[.t2 + y2 ; z2j:\
Таким образом, никаких бесконечностей в данном случае возникать не может.
Предыдущие выражения получены в предположении, что излучение
распространяется строго в направлении оси х, и, следовательно, не
учитывают возможных дифракционных эффектов на границе пакета.
б) Скорость пробного луча света вблизи пакета. Чтобы изучить природу
найденного выше гравитационного поля светового импульса, надо определить
скорость распространения пробных лучей в этом поле. Мы могли бы,
очевидно, избрать тот же самый метод, что применялся в § 113, б в случае
стационарного пучка, и получили бы, естественно, те же самые выражения,
что
§ 114. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ СВЕТОВОГО ПАКЕТА
289
и в указанном параграфе. Однако смысл их, конечно, был бы отличным от
прежнего, поскольку hn выражается теперь формулой (114.6), а не (113.1),
что позволило бы получить правильную зависимость скорости от координат и
времени. Для пробных лучей, движущихся параллельно траектории импульса (и
в том же направлении, что и импульс), мы пришли бы, очевидно, к прежнему
выводу о том, что скорость пробных лучей все время равна единице, т. е. к
выводу об отсутствии гравитационного воздействия импульса на такие лучи.
в) Ускорение пробных частиц вблизи пакета. Теперь найдем
гравитационное ускорение, получаемое пробной частицей, помещенной вблизи
от траектории светового пакета. Если считать, что частица вначале
покоится, ускорение, как и выше в § 113, в, будет определяться уравнением
Однако символы Кристоффеля в настоящем нестационарном случае выглядят
несколько сложнее, чем в предыдущей задаче. Тем не менее нетрудно
получить в заданном приближении уравнения
Подставим в эти уравнения выражения для гравитационных потенциалов
(114.6), считая для простоты, что пробная частица вначале покоится в
точке 2=0. Тогда ускорение, получаемое частицей в направлении траектории
импульса, будет определяться формулами
d2y __ 1 dhiA d2z 1 dh
ds2 2 dy ' ds1 2 d;
dz
44
[.X2 + 4Д1'2
fOT t = [x2 -1- '/211/2
(до t = [X2 + г/2]12 X,
dt2 " U -- x t - X - x
от t = [x2 + f/2]1/2 X
[до / = / + [(/ - x)2 -b y2f \
(114.7)
-2p
от t = I -
I:/ vr //]'-ДО t - I I-
+ [(/-X)2-! /У2]1'2 1- X.
19 P- Толмен
290
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
А для ускорения частицы в направлении, нормальном к траектории, получим
d2y dt2
d2y
~dtr
-2p у
[x2 + y2]1/2{[x2
= 0
2 i'/2
У2] -X
ОТ
от t = [x2 до t = [x2 t =[x2+y2)V2+k
уЧ'2 + к
(114.8)
<Ру di3
до t = I + [(/ - x)2
,1/2
2p у
[(/ - Xf + I{[(/ _ x)t + y"jl/2+ (/ _ *)}
от i = I -+ + [(/-*)2
ДО f = / + + (/-*)2-
Из этих выражений видно, что ускорение, параллельное траек-тории
импульса, сначала направлено в ту же сторону, что и движение импульса, а
затем в противоположную. Ускорение же, нормальное к траектории импульса,
сначала направлено в сторону траектории, а затем от нее. Выводы оказались
не очень прозрачными, поэтому, для того чтобы лучше понять, как
происходит процесс гравитационного взаимодействия, найдем полный эффект,
создаваемый движением импульса на участке траектории от *=0 до х-1.
Проинтегрируем выражения (114.7) по соответствующему интервалу времени.
Сложив затем полученные результаты и сократив довольно много членов,
найдем, что покоящаяся пробная частица приобретает ускорение,
параллельное направлению распространения пакета; после прохождения
пакетом выделенного участка ускорение, параллельное этому направлению,
равно
d2x dt2
dt = 2рА
l
У
,1/2
[(/ - х)2 + у*
,1/2
(114.9)
Используя же (114.8), получим для компоненты ускорения в сторону
траектории пакета выражение
d2y
dt2
dt =
2рЯ
Т
х2 + у2]
1/2
[(I- x)2 + f
,1/2
(114.10)
Обе формулы относятся к эффекту гравитационного воздействия только
выделенной части траектории пакета от х=0 до х-1.
§ 114. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ СВЕТОВОГО ПАКЕТА
291
Если частица помещена в точку, равноудаленную от обоих концов
рассматриваемого отрезка, эти общие выражения упрощаются и становятся
