Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
тока Л\ Эти три тензора были определены в § 50 в системе галилеевых
координат, относительно которой рассматриваемая электромагнитная среда в
целом покоилась. В этих координатах указанные тензоры выражаются
непосредственно через четыре известных максвелловских вектора:
напряженность электрического поля Е, электрическое смещение D,
напряженность магнитного поля Н, магнитную индукцию В, которые
определяются наблюдателем, покоящимся относительно среды, а компоненты
вектора тока определяются плотностью тока и электрического заряда,
измеряемых тем же наблюдателем.
При построении макроскопической теории в рамках общей теории
относительности можно, очевидно, непосредственно воспользоваться
тензорами H^lv и поскольку их можно ввести точно тем же способом, что и
раньше, т. е. предположить, что локальный наблюдатель, использующий
собственные координаты в выбранной точке, определяет компоненты
соответствующих тензоров, которые затем по правилам тензорных
преобразований можно перевести в любую нужную систему координат.
Прежде чем приступить к обобщению макроскопической теории, мы должны
удостовериться в том, что уравнения в § 50 действительно заданы
ковариантным образом. Для первого из двух уравнений это справедливо в его
прежней форме
dFav dFvn dFm,
iF+iF+if-0 (105Л)
из-за взаимного уничтожения символов Кристоффеля, которые
270
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
возникают при переходе к ковариантным производным, но исчезают ввиду
антисимметрии тензора F^. Чтобы второе уравнение поля получить в
ковариантной записи, достаточно обычное дифференцирование заменить
ковариантным, т. е. написать
(tfnv)v-/и. (105.2)
И наконец, чтобы замкнуть систему уравнений макроскопической теории,
можно переписать в ковариантной форме и дополнительные уравнения, см. §
51:
" dxa Р dxa
"Р'ЗГ ~ е а^1Г'
(gapFyt + gayFbfi + gabFpv) ^ =
dxa
H (gaflHV6 + gayH6p + gabHf,y)-n, (105.3)
ds
ja j dx^ dxa ct cyadx&
J = -37-
Здесь e, p. и a - соответственно диэлектрическая постоянная, магнитная
проницаемость и проводимость вещества, измеряемые локальным наблюдателем,
a dxa/ds и dx^jds- обозначения макроскопической скорости среды в
рассматриваемой точке. При введении этих дополнительных уравнений мы
подразумеваем, конечно, что справедливо обычное приближение,
предполагающее, что электромагнитное состояние вещества можно полностью
характеризовать в каждой точке, если задать распределения скалярных
величин е, р и а.
Итак, включение макроскопической теории электромагнетизма в общую теорию
относительности оказалось формально простой операцией. Однако полученные
уравнения не столь уж просты, и до сих пор они получили лишь ограниченное
применение.
ЧАСТЬ II
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 106. Сохранение электрического заряда
Теперь мы рассмотрим некоторые приложения релятивистской электродинамики,
результаты которых мы используем в дальнейшем, однако они будут иметь
ограниченную применимость вследствие несовершенства электронной теории
Лоренца, которое мы уже отмечали выше.
§ 106. СОХРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА
271
Найдем для начала релятивистский аналог классического закона сохранения
электрического заряда.
Вводя тензорные плотности (Приложение III, уравнение (48)), можно
переписать второе из уравнений поля (102.6) в виде
a&JlV S", (106.1)
дх
.V
а используя антисимметрию 8^v, получаем
__ дЗ*
м.* <.," °- <1об'2)
Вместо плотности тока, однако, можно взять формулу (102.2), которая
определяет J*, и переписать с ее помощью последнее уравнение так:
д L dx* дх*
(po^V-яМ, (106.31
где ро - собственная плотность заряда, определяемая локальным
наблюдателем, a dx*jds - "скорость" этого заряда.
Чтобы показать наиболее простым образом, что это выражение означает
сохранение электрического заряда, удобно рассмотреть его в системе
естественных координат данной точки х, у, z и t. Тогда, поскольку тензор
gв данной точке будет иметь галилеевы значения, его первые производные по
координатам исчезнут, и можно воспользоваться соответствующими
соотношениями
v'=r(r)-1'
и переписать (106.3) в виде
- (п - - ^ 4- - (с - 4- ~ ( Л- - (
дх ds dt J ду ^Р° dsdtj dz (P°ds dtj ' д/ (P° ds)
==0.
Поскольку dtjds - множитель, характеризующий лоренцево сокращение,
последнее соотношение можно переписать еще так:
31 (Р"*) + + ?(Р"г) + щ =0, (106.41
где р - плотность заряда, а их, иу, uz - обычные компоненты скорости в
выбранной системе отсчета.
Выражение (106.4) совпадает с обычным уравнением непрерывности для некой
"субстанции" с плотностью р. Таким образом, закон сохранения
электрического заряда действительно содержится в исходной формуле, что и
требовалось доказать.
272
ГЛ. VII]. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 107. Гравитационное поле заряженной частицы
В качестве второго применения релятивистской электродинамики найдем
гравитационное поле, создаваемое заряженной частицей.
Будем считать, что частица покоится в начале системы координат. Тогда,
