Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
симметричных интервалов. Она следует из
(94.6), если ввести новую переменную г' с помощью соотношения
i_
~р- - е* -у-. (94.7)
dr' dr
Используя эту подстановку и опуская штрихи, можно выразить интервал в
виде
ds2=-е>L(dr2-\-r2dQ2-\-r2 sin2 0 dtp2) -\-evdt2,
p = p(r, t), v=v(r, /), (94.8)
где p. и v - функции участвующих здесь г и t. Путем дальнейших очевидных
преобразований приведем последнее выражение
248
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
к виду
ds2 - ~ev- (dx2-{-dy2-{-dz2) -\-evdt2, p = p(r, t), v=v(r,t), r =
Vx2+y2+z2. ^94'9^
Две последние системы координат могут быть названы изотропными.
§ 95. Статический сферически симметричный интервал
Приступим к более подробному обсуждению общих формул, предложенных выше в
качестве решений уравнений .поля. Чтобы получить из них решения в явном
виде, необходимы точные выражения символов Кристоффеля и компонент
тензора энергии - импульса через величины, в которых записаны интервалы.
Начнем наше рассмотрение с физических систем, которые являются и
статическими, и сферически симметричными. Тогда согласно (94.6) мы можем
выразить наш интервал в стандартной форме:
ds2=-e^dr2-г dQ2-г2 sin2 0 d^-^-e'dt2,
K=K(r), v=v(r). (95-1)
Символы Кристоффеля первого рода, соответствующие этой форме интеграла,
легко вычислить, используя их определение (73.14); в результате получаем
-pi ^ f рЗ 1 р2 1
А 11 = " Л> 131=_7"> 121 - - >
1?,- Гз2 = ctg 0, Ги=-ге-\
гз Г4а = -/-ЯП* ве-\ Пз - ctg 9. (95.2)
Г13 = -, " rf 1
Г
Г|3 = - sin 0 cos 0, ^4l 2 v
Tu ~ -j- v'> T\4 = 4rev-V,
где штрих означает дифференцирование по г. Символы, содержащие все прочие
наборы индексов, исчезают.
Используя эти величины для символов Кристоффеля, мы можем вычислить
компоненты свернутого тензора Римана - Кристоффеля, определяемого
выражением (77.2), а компоненты 7Vv тензора энергии - импульса получить
согласно его определению (81.6). Последний наиболее просто выражается в
виде смешанного тензора. Неисчезающие его компоненты выглядят
§ 95. СТАТИЧЕСКИЙ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 249
следующим образом:
8л71 = 8яТз = - е-х(? - - Л, (95.3)
8я Ti=e-x(^--pJ+±-A.
При нахождении величин (95.2) и (95.3) мы использовали выражение для
интервала (94.6).
Можно, конечно, провести аналогичные вычисления и для случая изотропного
интервала (94.8):
ds2 = - e>l(dr2-\-r2dQ2-\-r2 sin2 0 cf<p2) -{-evdt2,
M'(r). v=v(r). (95.4)
Символы Кристоффеля, соответствующие этому интервалу, в случае
статической системы имеют вид
Т-~Л 1 f рЗ 1.1 г
1 11 ~2~ ^ 1 з* г Л 2~ ^ >
Г2 == - J- - п/ ^32 = ctg 0,
А 12 - I о Ц ,
2
гз 1,1, Г33 = -(/• + 4'rV)sin2
Г!3 = -4-^-р v >
т-4 I г
Гм = -д-v ,
Г |3 = - sin 0 cos 0,
2~v ' (95.5)
"о 1,1, т-4 1 ,
Г21 = - 4--2~.и - Г41 = ~2~ v
Г
Г23 - ctg 0,
где штрихи, как и прежде, означают дифференцирование по г, а все другие
символы оказываются равными нулю.
Выпишем также неисчезающие компоненты тензора энергии-• импульса,
соответствующие этой форме интервала:
о -1 -J Iх'2 , v'v' , м-' -h мЛ Л
250
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Рассмотрим теперь систему, образованную из идеальной жидкости. Перепишем
еще раз определение тензора энергии - импульса идеальной жидкости (85.7):
T^ = (P0o + Po)^-^--g^Po, (95.7)
или с опущенным индексом:
/г!v / . ^ dx dx v /лр" г\\
= (Poo + Po)§aij.-fc fa guP о- (95.8)
Поскольку, однако, мы ограничиваемся рассмотрением статической задачи,
компоненты "скорости" жидкости для обоих исследуемых интервалов выглядят
так:
= Г959ч
ds ds ds v'ds ' 1У0-9'
Подставляя эти величины в (95.8), получаем компоненты тензора энергии -
импульса:
Т\ = Т\ = Tl = -р0, Т\ = Роо, (95.10)
которые можно для идеальной жидкости подставить в (95.3) и (95.6).
Прежде всего, найденное в случае идеальной жидкости равенство между
радиальным натяжением Т\ и поперечными на-
2 3
тяжениями T<i = Тз позволяет получить очень простое выражение
1 2
для градиента давления. А именно, приравнивая Т\ и взятые из (95.3),
получаем
* - х (21 _ W + AL2 + = 0
е V 2 4 4 2г г г* }' г* и'
Умножая это уравнение на 2/г и перегруппировывая члены, переписываем его
в виде
Сравнивая последнее уравнение с (95.3) и (95.10), находим, что оно
эквивалентно уравнению
~fa~ + (Роо + Ро) ~2 = 9, (95.11)
которое является релятивистским аналогом ньютоновского
§ 95. СТАТИЧЕСКИЙ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 251
выражения для зависимости давления от гравитационного потенциала:
Тот же результат (95.11) получается и в случае изотропных координат, если
произвести те же операции': приравнять выражения Т\ и Т\ из (95.6), затем
умножить полученное соотношение на 2/г и произвести соответствующую
перегруппировку.
Таким образом, в случае сферически симметричной статической системы,
состоящей из идеальной жидкости, мы можем придать интервалу стандартную
форму:
ds2=-exdr2-rW-г2 sin2 0 dy2-\re',dt2,
X=X(r), v=v(r), t95'12)
причем
8зтр0 = e~k + 7Г j -+ Л,
о _i / v" X'v' . v 2 . v' - V\ , A
8np0-e 4 4~ *' -§7- J "i- Л'
8np00 = e~}- ^ ~j f -p. - A,
