Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
данными астрофизических наблюдений*).
§ 97. Энергия сферы из идеальной жидкости
Прежде чем закончить обсуждение свойств сферических жидких объемов,
покажем, как получить одно весьма простое выражение для полной энергии
сферы в квазистатическом случае [65]. Простейший способ решения этой
задачи - представление интервала в изотропном виде:
ds2--ev- (dx2-\-dy2-\-dz2) -e^dt2,
p = p(r), v = v(r), r = Yx2 + y2 + z2. ^97,1^
Поскольку координаты x, у, z, t, в которых выражается этот интервал,
являются квазигалилеевыми и становятся просто галилеевыми на большом
удалении от начала координат, можно записать, согласно (92.4), выражение
для энергии рассматриваемой сферы, описываемой интервалом (97.1),
следующим образом:
= Ш(34 -Si - ?2- %l)dxdydz =
= Ш {Т* - Т\ -Т\- 71) еТ <3tl+V> dx dydz. (97.2)
Подставим сюда, далее, вместо компонент тензора энергии - импульса их
выражения через плотность роо и давление р0 (95.10); получаем
rrr -i-On+v)
и = 10 (Роо + Зр") е dxdy dz. (97.3)
И наконец, замечая, что собственный пространственный объем,
соответствующий координатному интервалу dxdydz, равняется
з
¦тг
dV0 - e dxdydz, (97.4)
перепишем выражение для энергии статической идеальной жидкой сферы в
простой, физически прозрачной форме:
_i_
(У = J(Poo + 3p0)e2 VdV0, (97.5)
*) Более подробный анализ задачи Шварцшильда, в частности вопрос о
физическом смысле так называемого "горизонта" г-2т, см.: Л. Ландау, Е. Л
нфшиц, Теория поля, § 100, "Наука", 1973. (Прим. ред.)
256
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
где интегрирование следует производить по всему объему рассматриваемой
сферы.
Для достаточно слабых полей, т. е. полей, создаваемых сферами, малыми
настолько, что ньютонова теория тяготения может рассматриваться как
удовлетворительное приближение, выражение (97.5) сводится к
соответствующему ньютоновскому аналогу. Убедимся в этом.
В случае слабых полей можно ввести согласно (80.9) обычный ньютоновский
потенциал ф*):
Ф = -§"&"" 0 =4-(^-i)"4-v,
и подставить его в выражение для энергии сферы (97.5). Тогда приближенно:
е'^^+ф. (97.6)
В результате получаем
U = J (Роо + ЗРо) (1 + W dV0 =
= J Роо dV0 + J Роо^ dVo + 3 J Po d.V0 + 3 J р0ф dV0. (97.7)
Это выражение можно, однако, переписать в более наглядной форме.
Поскольку слабые поля ф малы по сравнению с единицей, а р0 для обычного
вещества мало относительно роо, мы можем пренебречь последним членом в
(97.7) по сравнению с другими членами, а во втором и в третьем членах
можем опустить нулевые индексы, которые означают, что соответствующие
величины измеряются в собственной системе координат. В итоге имеем
U^SpndVo + SptydV + ZSpdV. (97.8)
Ньютоновская теория позволяет сделать дальнейшие преобразования.
Интегрируя по полному объему сферы с радиусом Г\, получаем
3 Г р dV = 3 j1 4я:r2p dr = |4пг3р | - ( 4л;rsdp = - f 4яг3 dp, о оо
о
поскольку давление обращается в нуль на границе сферы Г\. С другой
стороны, полную радиальную силу, равную -Anr2dp н действующую извне на
сферический слой вещества dMr, ограниченный радиусами г и r-\-dr, мы
можем приравнять гравитационному притяжению, которое испытывает этот
слой:
С С Мг
3) pdV = ) ~dMr.
______________________________ о
*) Скорость света с в (80.9), как и раньше, положена равной единице.
§ 98. НЕСТАТИЧЕСКИИ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 257
Или окончательно, так как правая часть этого соотношения выражает,
очевидно, работу, необходимую для того, чтобы перенести все вещество,
содержащееся в этом слое, на бесконечность, можно воспользоваться обычным
выражением для потенциальной энергии и написать:
3 j р dV = - j -у- рф dV. (97.9)
Подставляя затем (97.9) в (97.8), получаем полную энергию
сферического объема жидкости:
С/ = J Роо^о + J* (97.10)
Таким образом, в ньютоновском приближении релятивистская
формула для полной энергии жидкой сферы сводится к сумме полной
собственной энергии и потенциальной гравитационной энергии обычной
ньютоновской теории. Этот результат, естественно, укрепляет нашу
уверенность в практических преимуществах эйнштейновского метода,
использующего псевдотензорную плотность потенциальной гравитационной
энергии и импульса t^.
§ 98. Нестатический сферически симметричный интервал
Обратимся теперь к наиболее сложному случаю - нестатическому сферически
симметричному интервалу. Предположим, что в соответствии с (94.6) можно
записать решение в стандартной форме:
ds2~-eldr2-r2dQ2-г2 sin20 evd/2,
}.=X(r, t), v = v(r, t). (98.1)
Символы Кристоффеля, соответствующие этому интервалу, имеют вид
258
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
rl2 = ctge,
Гзз = - г sin ее-*,
Г|3 = - sin 0 cos 0,
где штрих означает дифференцирование по г, точка - по t; все остальные
символы исчезают.
Используя эти значения для символов Кристоффеля, можно вычислить
неисчезающие компоненты тензора энергии - импульса *):
8яГ1 = -е-^- + 1) + 1-Л,
SnTl - 8л71 = - е-^ - ^ -f +
+ е""(т+т-т)-л- <98-3) 8я71 = в-^^-1-) + 1-Л,
8л7^ = - е~'лу,
8 пТ\ = e~vy.
