Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
1 ао 2D дх2
r!3 i ад + 2Л дх2 Г1 *23 = 0 Гзз == - 1 ас 2Д ах' Г1з
. 0
Г2 1 13 0 Г2 1 23 1 ав 2в ах3 гзз = - 1 ас 2В дх2 Г2 43
^0
1 3 1 13 i ас ~r= + 2С дх1 пЗ 23 = + 1 ас 2с ах* г3 А 33 = +
1 ас 2С дх2 рЗ 43 - + 1 ас 2с ах*
Г4 1 13 .0 Г4 1 23 = 0 г4 Чз "Г 1 ас 2D ах' Г4 1 43
= + 1 ао 2D дх2
гн 1 ад - + 2Д ах4 Г1 1 24 = 0 Г34 = 0 Г1 1 44
= + 1 ао 2Л ах1
1'н = 0 Г2 24 = + 1 ав 2в ах* 1'34 ^ 0 Г2 44 = + 1 ао 2в ах*
l'?4 = 0 рЗ 24 = 0 рЗ 34 = + 1 ас 2с ах4 рЗ 1 44 = + 1 ао
2с ах*
1'м 1 dD = + 2D ax' Г4 1 24 ;= + 1 ао 2D ах* Г4 34 = + 1 ао 2D ахз
г' 44 = + 1 ао 2D ах4'
(100.2)
а компоненты тензора энергии - импульса определяются
формулами:
оут.1 1 Г 1 / дгВ д2С \ 1 / д2В дЮ \
1 2 [вс (a (х3)* + д (х3)3J BD (а (х4)* д (х2)3)
1 / а*с а*о \]
cd (а (х<)3 a (x")s)
LГ_1_ I А-\^?.дВ л (дВ\%\ __
1 [ВС2 [дх2 дх2 г [дх2 j ) ^ СВ2 [дх2 дх2 +
[дх*)}
1 [дРдВ (дВ\2\
BD2 [ах4 дх4 [дх2) J ^ О В* (ах* дх2 (ах4) )
[_fd?_dD_ __ (dDY\ , J_ fdD dC_ __ fdCX2)
cd2 (ax4 dx4 (ax3J j dc2 (ax2 ax3 (ax4j j ~~
i_ гас ао as ад a? асд _
BCD (ax* dx2 dx2 dx2 dx4 ax4}
i as ac i as ao 1 ac aoi
две ax1 ax> лво ax' ax' лcD ax' ax*J ' A •
§ 100. БОЛЕЕ ОБЩАЯ ФОРМА ИНТЕРВАЛА
264
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
1 f ??. -i_ - - 4-дА дВ
ЛВС Ш ' дх* дх2 '
дх3 дх3 1 дА дВ
!} +
+
8яАТ\ = - 8пВТ 1 дС дС
ABD дх4 дх1
д*С
1 дАдС ACD дх4 дх1 +
ав ас
BCD ах4 ах4
Л,
+
а2р 1
с ах>ах* r d ax*ax2J
1Г1
4 |_С'
+
1 ар ар
2 дх1 дх* D* дх1 дх2
Л_а?ас,_1_алар ЛС ах2 а.х1 + ЛР дх* дх1 +
, _1__ав ас^ i ав ар ^ вс ах1 дх* ^ вр ах' аха
8яЛТз = - 8пСТ] -
1
д*В 1
3 "г
а2р
1 ав ав в2 ах1 ах3
в axiax 1 ар ар
•]
f
+
+
d2 ах1 ах3 1 ал ар
d ах'ах3
1 ал ав лв ах3 ах1 +
, 1 ас ав
- 8яВП =
8"Crss--T[i
+ т[г
ЛР дх3 дх1 д*А
4-
СВ ах1 дх3
а3р
1 ас ар ср ах1 ахз
Л дх*дх3 ' D дх*дх3
ал ал , 1 ар ар , i
ахз ахз
-+
-t-
р2 а.х2 ахз
_1_м ав лв ах2 ахз
1 ал ас лс ах3 ах2
1 ар ав рв ах2 ахз
8пАТ\
~Н
8nDT\
д*В
В дх1дх*
1 а2 с
С дх
>2с -j 1 г 1 ав ав 1
cwj ' 4 [в2 ах1 ах4 + с2
1 ар ас
DC ax' дх2
ас ас ах1 ах*
1 ал ав
ЛВ ах4 дх1
1 ал ас 1 ар ав i ар ас
лс ах4 ах1 рв ах1 ах4 рс ах1 ах*
8лВ71
8лОГа =
1 ам , 1
л ах2 ах"
+
а2с
с ах2 ах4
1 ал ал
Л2 ах2 дх4
1 ас ас с2 ах2 ах4
+
1 ал ав
8лС71
ЛВ ах2 дх4 + 8я?>71 =
1 ал ар лр ах4 ах2
j^ac^dB св ах2 ах4
1 ар ас рс ах2 ах4
г 1 а2л 1 а2в j_ 1
л ахзах4 в ахзах4 1 4
1 ал ал
Л2 ах3 дх4
1 ав ав в2 ах3 ах4
ГЛАВА VIII РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ЧАСТЬ I
КОВАРИАНТНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА § 101. Введение
В этой главе мы кратко рассмотрим обычное обобщение электродинамики в
общей теории относительности, которое может быть сделано на основе
электродинамики специальной теории, изложенной в главе IV. Мы рассмотрим
также несколько приложений, которые нам понадобятся впоследствии.
Мы начнем с релятивистского обобщения электронной теории Лоренца, не
обращая внимания на ее трудности, о которых мы уже говорили и которые
связаны с тем, что теория Лоренца развивается на основе микроскопической
точки зрения, игнорируя те ограничения на строгое микроскопическое
рассмотрение, которые возникают в соответствии с современным состоянием
квантовой теории.
После этого мы уделим немного внимания обобщению той макроскопической
теории, которая была развита во второй части главы IV.
§ 102. Обобщенная электронная теория Лоренца.
Уравнения поля
В специальной теории относительности мы показали (§ 46), что уравнения
Максвелла - Лоренца можно записать с помощью двух векторов, заданных в
галилеевых координатах: обобщенного потенциала ф^, определенного через
обычный векторный потенциал А и скалярный потенциал ср:
Ф^= {Ах, Ау, А" ф), (102.1)
и обобщенной плотности тока Jкомпоненты которой выража-
266
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ются через собственную плотность заряда р0 и скорость dx^/ds или, иначе,
через плотность заряда р и плотность тока ри, заданные в любой системе
координат:
Эти два вектора позволяют объединить уравнения Максвелла- Лоренца,
заданные в галилеевых координатах, которые допустимы и в специальной
теории относительности, записав их в виде двух уравнений:
5ф" (ЗФи = (102'3)
И
(102.4)
дх
Первое уравнение здесь выражает антисимметричный тензор электромагнитного
поля Fчерез обобщенный потенциал ср^, а второе связывает этот тензор с
вектором тока.
Оба уравнения надо считать справедливыми в "плоском" пространстве -
времени специальной теории относительности и записанными в галилеевых
координатах. Из принципа эквивалентности, одиако, следует, что в общей
теории относительности соответствующие им уравнения должны иметь тот же
самый вид, если они заданы в естественных координатах рассматриваемой
точки. Следовательно, разумно предположить, что путем простой
ковариантной формулировки приведенных выше уравнений специальной теории
относительности можно получить обобщенные релятивистские уравнения.
Займемся этим.
Поставленная задача очень проста. Определения обобщенного потенциала и
