Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем теперь, что это решение совместно с условием
(93.6). Дифференцируя (93.8), можно записать:
Согласно (93.7), однако, тензор энергии - импульса - величина первого
порядка, а потому, в соответствии с фундаментальным соотношением (84.5),
дивергенция тензора энергии- импульса является величиной второго порядка.
Следовательно, с заданной степенью точности получаем
dh* __ 1 dh
дха 2 qxv-
Подставляя в (93.6) последнее выражение и аналогичное выражение для v,
легко проверить, что найденное соотношение обеспечивает справедливость
условия (93.6).
Итак, мы убедились в том, что полученное Эйнштейном выражение (93.8)
(hi- -5-6^ = -4^Щ^-dxdydz (93.9)
действительно является приближенным решением уравнений поля. Это решение
очень полезно в случае слабых полей, поскольку позволяет непосредственно
вычислить малые отклонения ftjw метрического тензора от его галилеевых
значений, если тензор энергии - импульса известен как функция координат.
Хотя методика, приводящая к решению (93.9), годна лишь в случае слабых
полей, следует особо отметить, что она не налагает никаких ограничений на
скорость вещества, создающего поле. Это большой шаг вперед по сравнению с
рассмотрением на ньютоновском уровне, на котором были плохо известны и
механизм, и скорость распространения гравитационных эффектов.
246
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
В соответствии с истолкованием правой части выражения
(93.9) мы должны, очевидно, сделать вывод, что гравитационные эффекты
в рассматриваемой системе координат распространяются с единичной
скоростью, т. е. с тон же скоростью, что и свет. Кроме того, поскольку
(93.7) имеет вид "волнового уравнения", можно, очевидно, ожидать, что
существуют гравитационные волны, которые распространяются н переносят
энергию с той же самой скоростью. Процессы испускания и поглощения этих
волн, переносящих, естественно, лишь крайне малые количества энергии,
были исследованы Эйнштейном [66].
Тирринг и Лэнс [67] использовали решения (93.9) для обсуждения того, как
влияет вращение центрального астрономического тела на окружающее его
гравитационное поле и, следовательно, на движение спутников. Эффекты,
вызываемые такими вращениями, оказались, однако, в действительности
слишком малыми, чтобы представлять практический интерес для астрономов.
Тирринг нашел еще одно применение этих решений в другой аналогичной
задаче; он вычислил гравитационное поле внутри тонкой вращающейся
материальной оболочки [68]. Результат оказался весьма интересным и
прозрачным физически: вращение оболочки приводит, как и следовало
ожидать, к возникновению сил, аналогичных центробежным и кориолисовым
силам в обычной механике. В следующей главе эйнштейновские решения (93.8)
будут использованы для нахождения гравитационных полей, создаваемых
пучками и импульсами света.
§ 94. Интервалы для систем, обладающих сферической симметрией
Хотя у нас нет общего решения полевых уравнений Эйнштейна, исключая
разобранный уже случай слабых полей, мы можем все же часто догадаться,
какой вид должно иметь решение, руководствуясь характером рассматриваемой
физической проблемы, а затем исследовать свойства этого предполагаемого
решения. Так, например, если интересующая нас физическая система обладает
пространственной сферической симметрией, координаты удобно выбрать так,
чтобы форма интервала отражала свойства симметрии.
Приведем наиболее общий вид сферически симметричного интервала:
ds2=- еЧг2-е" (rW+r2 sin2 0 ейр2) +evdt2+2a dr dt. (94.1)
Здесь Я, р, v и а - функции только г и t, а коэффициенты -е\ -и +ev
заданы в экспоненциальной форме для того, чтобы пространственные
координаты г, 0 и <р явным образом отличались от временной t.
§ 94. ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ СИСТЕМ СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ 247
Эту общую форму сферически симметричного интервала легко, однако,
упростить, сделав ряд преобразований. Начнем с того, что введем новую
пространственную переменную г', определив ее уравнением
г'2=е"г2. (94.2)
Подставив ее в (94.1) и опустив штрих, легко убедиться, что интервал
примет вид
ds2 --exdr2-r2dQ2-г2 sin20 dq>2-\-evdt2-\-2a dr dt, (94.3)
где Я, v и a - уже новые функции новых переменных г и t.
Попытаемся теперь исключить в (94.3) смешанные произведения. Для этого
введем новую переменную V с помощью уравнения
dt'-r\(adr-\-evdt), (94.4)
где ц - интегрирующий множитель, превращающий правую часть в полный
дифференциал. В соответствии с (94.4) имеем
Ht' 2 л*
e4dt1+2adrdt = ^-r--^vdr\ (94.5)
Г|2е* е
Подставив это в (94.3) и опустив штрихи, придадим выражению для интервала
простой стандартный вид:
ds2 = -ех dr2-r2dQ2-г2 sin2 Q dtp2-\-ev dt2,
Я=Я(г, t), v = v(r, t), (94.6)
где Я и v - функции, зависящие только от введенных выше
г и t [69].
Возможность исключения единственного смешанного произведения путем
введения интегрирующего множителя (94.4) сильно упрощает рассмотрение
задач со сферической симметрией.
Для наших целей, однако, более удобна несколько иная запись сферически
