Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
всех трех системах координат, мы можем сделать вывод, что эти величины
идентичны для всех трех систем координат.
В дополнение можно показать, что величины преобразуются как компоненты
четырехмерного вектора при линейных преобразованиях, соответствующих
переходам к каким-либо новым наборам галилеевых координат вне цилиндра.
Строгое доказательство этого утверждения довольно сложно, и мы не будем
его здесь проводить (см. книгу Паули [38]).
Подытоживая предыдущее, мы видим, что в случае изолированной системы
физический смысл величин можно понять из того, что (1) при предельном
переходе они переходят в вели-лины, которые в специальной теории
относительности приняты как энергия и импульс; (2) они подчиняются
законам сохранения, если мы вводим координаты, переходящие в галилеевы в
"плоском" пространстве - времени вне системы; (3) они не зависят от
выбора системы координат внутри области, в которой существенна кривизна
пространства - времени; (4) они зависят от выбора галилеевых систем
координат в окружающем "плоском" пространстве - времени таким же образом,
как и величина m-odxv/ds, которую можно рассматривать (см. 28.4)) как
определение импульса и энергии частицы в специальной теории
относительности. Эти замечания должны помочь нам представить себе
физическую природу введенных величин.
§ 89. Плотности энергии и импульса, записанные в виде дивергенций
Для некоторых наших дальнейших применений законов сохранения энергии -
импульса удобно переписать и сами плотности энергии и импульса + в виДе
дивергенций. Для этого объединим выражения (84.1) для ^ и (87.12) для tji
следующим образом:
8д (й + t5) - -яг + тг*1* - -Г < + -Г"18 ¦ <ш>
Интересно отметить, что A-член при этом исчезает из последнего выражения,
даже если космологическая постоянная и не точно равна нулю. Подстановки
величин (87.6) и (87.9) в правую
§ 90. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ВЕЛИЧИН
237
часть преобразуют (89.1) к виду
+ tli) -
1 а|3 58
Это можно записать и по-другому:
Пользуясь затем определениями величин, входящих в это выражение, можно
показать путем довольно длинных последовательных преобразований [65], что
сумма последних трех членов в полученном выражении тождественно равна
нулю.
В правой части, таким образом, остается лишь дивергенция, т. е.
Это соотношение окажется полезным при нахождении релятивистских
плотностей энергии и импульса.
§ 90. Предельные значения некоторых величин на больших расстояниях от
изолированной системы
В следующем параграфе с помощью уравнения (89.3) мы получим выражения для
полной энергии и импульса изолированной материальной системы.
Предварительно вычислим предельные (соответствующие большим расстояниям
от системы) значения некоторых величин, стоящих в правой части этого
выражения.
При вычислениях используем систему квазигалилеевых координат (х, у, z,
t), которую выберем так, чтобы наша материальная система все время
находилась вблизи начала координат x=y=z=0 и чтобы интервал принимал
галилееву форму на очень больших расстояних от начала координат.
Вследствие этого интервал'на достаточном удалении от начала координат
можно описывать приближенной шварцшильдовской формулой
(82.15), а именно:
dsa = -(l + Щ(с(х* + dy* + dz*) +(l -^dP, (90.1)
23S
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
где
Г = Ухг+уг+г*, т = const, (90.2)
так как на достаточно больших расстояниях поле благодаря расположению
системы сферически симметрично, а также статично в силу того, что система
изолирована. Последнее означает, что мы считаем, что на этих расстояниях
изменения, происходящие внутри системы, не влияют на метрику и что
термодинамическими процессами, протекающими внутри системы, можно
пренебречь. Будем опускать члены порядка (т/r), считая их малыми по
сравнению с единицей. Тогда легко убедиться в том, что символы
Кристоффеля, соответствующие введенной метрике, имеют вид
т,ц т dr -pv т дг
рр рр I т дг (ц = 4, ро ~ (90.3)
lv^-l^v-±7r^r^^4> Jnv-0,
где [1, v и а - различные индексы. Заметим, что практически в
соответствии с (90.2) часть этих величин исчезает, поскольку не зависит
от г и x^-t.
С помощью этих выражений для символов Кристоффеля и выражения (87.5) для
Зй/Зд^можно получить в явном виде величины, стоящие в правой части
(89.3), которые будут необходимы нам в следующем параграфе. Вычислим их с
той же степенью точности, что и символы Кристоффеля:
,а4
58 dfi pi | 1
= - Гн Н ог Г48 - О,
> а4
Зв\" <Эв14 - 4 г 2
д" дa _ - Г)4 = 0,
<98 <98 pi т дг
8 А44 Г44 r% дх
ар <98 <98 <9 8 <9<j <98
8 дй?
^ п g-Г]8Г22 + Г33 - Г44 =
т Г д[_ /_ дг_ дг дг , дг \ дг , дг _5г) _
ri ( дх ( дх дх ах дх J дх дх дх J
2т дг г* ~дх
§ 91. МАССА, ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ИЗОЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
239
Воспользовавшись симметрией относительно х, у, и z и заменив производные
г по координатам направляющими косинусами радиуса-вектора, запишем эти
выражения окончательно в виде
= = (90.4)
гтл ох пг , ч
В = ~ 7г"к(лл),
-.ai
i 1
dQ
