Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
~ = - ГрцаГ"р + (87.4)
и
~ = - r"v + I g"r?p + | g"r(V (87.5)
С помощью этих двух выражений, дающих зависимость Й от переменных и 0?v.
мы получим несколько уравнений, содержащих ft, которые будут полезны в
дальнейшем. Так, сопоставляя
(87.4) и (87.5) с выражением для свернутого тензора Римана -
*) Изложение следует книге Эддингтона [56] (§ 58, § 59).
§ 87. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ В ЛАГРАНЖЕБОИ ФОРМЕ
231
Кристоффеля (77.1), нетрудно убедиться, что последний можно' записать в
виде
d dZ dz
дх" дС
= R^. (87.6)
Эта формула обнаруживает формальное сходство с уравнениями движения в
классической лагранжевой форме, оправдывая название, которое мы дали
функции й. Далее, умножая выражения (87.4) и (87.5) на и g?v
соответственно и производя некоторые упрощения, можно найти соотношения
(87.7)
D"|rv = 28- (87.8)
С их помощью легко вычислить скалярную плотность 8J:
dz
а = g^V- в = e-'R,,, = - ь ,/v
= { fl ^ _ n PV Jl*-Д uv _ JL_ ( rtfiv \
_ g
a** [* d?>) 0a 9 <^v I d№;
(87.9)
Теперь мы уже можем написать фундаментальные уравнения механики в форме
обычной дивергенции. Для этого нам надо преобразовать второй член в
полученном ранее уравнении (84.8). Согласно первоначальным уравнениям
поля (84.1) можно записать:
- 8л= (Rliv - 4 Rgw+Agixv) V- gdg'lv =
2" ^4>nv+Aguv J V
Ru.v V- g dg-iV - 4 R K77! guv dg"v + А У - g guv dgw
= /?," V- gdgi(tm) + RdV - g - 2AdV- g = = R^V- gdg^ + gM'v R^dV - g - 2KdV
- g =
= Rn\d (g^v V~--~g) - 2A d-Y ~~~g- (87.10)
При переходе от второй строки к третьей было использовано уравнение (39)
из Приложения III. Подставив сюда величину
232
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
R^v, записанную через лагранжеву функцию (87.6), и величину gpv,
определенную в (87.3), получим
dg
rPV
l,iV Л? д
дха
Йр
pv
да
да
-2Ад-^
дх(r)
д
дха
,|XV
<^v да \ да д
HV ,
дха ИР a"hv
,[iV
да
дв
,pv
- 2А
dV:
дх(r)
1PV
да
_ _д _ дх1
dg?v дх(r) "
да \ да
A flpv _ 2А д ^7-g
dgM"v д*^ дх(r)
д : дха
йр
да
• 2Л
дК-"Г
дх(r) дх(r)
- д"Й - 2g"AV^'g
(87.11)
Для дальнейшего использования этого результата введем новую величину,
которую можно назвать псевдотензорной плотностью энергии и импульса:
tS=ik-[r55+""8+28S'4/=i]. (87-12)
В соответствии с этим определением и (87.11), мы, очевидно, можем
написать:
дх'
дх^
(87.13)
Подставляя теперь это выражение в (84.8), можно придать уравнениям
механики вид обычной дивергенции:
дх
*ы:+л) = о.
(87.141
Это уравнение не является тензорным, так как величина tp не настоящая
тензорная плотность; дивергенция также здесь обычная, а не тензорная. Тем
не менее определение плотности
(87.12) ^ справедливо во всех системах координат, а последнее
уравнение ковариантно и справедливо во всех системах координат. Таким
образом, не возникает никаких сомнений в правильности этого
замечательного результата Эйнштейна.
Заметим, что согласно определению 11 (87.12) и значениям величин, стоящих
в нем и введенных предыдущими уравнениями этого параграфа, величина^ в
любой точке задается компонек-
§ 88. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА
233
тами метрического тензора ga$ и его первыми производными в этой точке.
Далее, если использовать естественные координаты в выбранной точке,
видно, что выражение для сводится к следующему:
(87.15)
Объединение его с выражением для тензора энергии - импульса
(84.1) приводит в этих координатах к соотношению
- 8л (з? + tl) = (flS - -i Rgi) V~g. (87.16)
Однако, поскольку не настоящая тензорная плотность, она не будет
выглядеть столь же просто во всех других системах координат.
§ 88. Закон сохранения энергии - импульса для конечных систем
Новая формулировка законов механики позволяет получить важные выражения,
которые можно рассматривать как релятивистские аналоги обычных законов
сохранения энергии и импульса.
Начнем с того, что обозначим через х\ х2 и х3 координаты, соответствующие
обычным пространственным координатам, а через х4 - соответствующую
обычной временной, и применим уравнение (87.14) к рассматриваемой
конечной системе. Умножая затем (87.14) на dxldx2dxz и, интегрируя при
некотором заданном моменте "времени" х4 по пространственному объему,
занимаемому системой, после некоторой перегруппировки членов получим
1 i I Ш* dxldx2dxz = - j j j (г'ц + t ц) +
+ 07"(зй-М2") +?i{zl + ttydx4x*dx*. (88.1)
Пределы интегрирования здесь соответствуют размерам рассматриваемой
области: от х1 до х'1, от х2 до х'2 и т. д. - и считаются не зависящими
от "времени" х4. Поэтому (88.1) можно переписать, если проинтегрировать
соответствующим образом в нем правую часть, в виде
d4l Ш (г I +11) ix'dx'dx* = - И | < + t W'dx'dx* -
- I J|? I + t2J?' dx4x-5 - J J |S I + tl№ dx4x-\ (88.2)
В этой форме уравнение (88.2) справедливо в любой системе координат
вследствие его прямой связи с ковариантным
234
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
уравнением (87.14).Интерпретация и использование полученного уравнения
часто облегчаются, если выбрать координаты так, чтобы граница
