Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
квазигалилеева типа, как и в двух предыдущих параграфах, и что физическая
система постоянно находится в начале координат. Тогда второй интеграл в
правой части (92.2) легко вычислить с помощью теоремы Гаусса; при этом
область интегрирования удобно выбрать в виде сферы достаточно большого
радиуса, а значения на ее границе - в виде предельных величии
(90.6). Величина этого интеграла оказывается равной (1/2)т и согласно
(91.3) равна также (1/2) Д. Учитывая последнее, перепишем (92.2) так:
И наконец, определим квазистатическую систему как систему, в которой
изменения происходят за "время" t, настолько большое, что в правой части
(92.3) можно пренебречь вторым членом по сравнению с первым. Естественно,
что это выполняется строго лишь для состояний медленно меняющихся или
равновесных. Для энергии таких систем мы можем использовать простое
выражение [65]:
и =
SR -8л X -8л (Зй -Г ~Г !?з ~Г ?4)?
dt ( ^й"Р) dxdljdz'
(92.2)
У = 111 dx dy dz +
dxdydz. (92.3)
и = -%\ -%l-Xz) dxdydz. (92.4)
§ 93. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В СЛАБЫХ ПОЛЯХ
243
Это выражение обладает тем значительным преимуществом, что интегрирование
в нем можно производить лишь по области, действительно занимаемой
веществом или электромагнитным полем, поскольку величины равны нулю в
пустом пространстве.
ЧАСТЬ II
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПОЛЯ
§ 93. Общие эйнштейновские решения уравнений поля в случае слабых полей
Как упоминалось в начале этой главы, все законы релятивистской механики
содержатся в уравнениях Эйнштейна
-8nTl = Rl--±-Rgl+AgZ, (93.1)
которые связывают тензор энергии - импульса с геометрией пространства -
времени. В первой части мы изучили те следствия механики, которые
вытекают из условия равенства нулю тензорной дивергенции тензора энергии
- импульса Т^, возникающего из-за того, что дивергенция правой части
(93.1) равна нулю тождественно. Теперь мы перейдем к более общей проблеме
решения десяти дифференциальных уравнений (93.1) и тем самым свяжем
компоненты тензора энергии - импульса с компонентами метрического тензора
gp.v.
Для случая достаточно слабых полей эта проблема была полностью решена
приближенным решением Эйнштейна для этих уравнений поля. В случае сильных
полей мы не можем получить общего решения полевых уравнений, но, вводя
специальные предположения относительно физической природы рассматриваемой
системы, можем написать ряд упрощенных выражений, связывающих компоненты
Tl с компонентами метрики и ее производными. Эти выражения оказываются
полезными при решении уравнений в некоторых частных случаях.
Приступим теперь к нахождению общего приближенного решения, впервые
полученного Эйнштейном. Для этого рассмотрим слабое гравитационное поле,
которое допускает введение координат, мало отличающихся от галилеевых.
Компоненты метрического тензора в этом случае будут выглядеть следующим
образом:
gii.v = 6nV-f-/inv, (93.2)
где 6nv - постоянные галилеевы значения gp*: ± 1 и 0, a - малые добавки.
Величины htlv и их производные по координатам
16*
244
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ механика
будем считать членами первого порядка, а квадратами их будем
пренебрегать. Удобно также ввести величины
hi = h=hl = б^Аах, (93.3)
где 6|iv - галилеевы значения g'iv. Рассмотрим теперь выражение для
свернутого тензора Римана - Кристоффеля (77.1). Естественно исключить из
него члены высших порядков, что дает
, = Дс-,4-г;, = ФДФ +^-^'
**V dxv 110 дха ^ dxv [2 \ дха ^ дх" дхк
д ( 1 finjL,faV | дНУЛ
дха ^ 2 (5^ ддф дх^
1 / Э2/г<Л ^2/V , 52V
- J_ gaU __ Д* __ ^ 1
9 a..Ua..V 3..V3.1 n..CT-А 11 "Т"
2 \^<3a:m'(3a:v dxvdxK дхадх" дхадх*
Производя перегруппировки и замены немых индексов и исполь-
зуя определения (93.3), последнюю строку можно переписать так:
1 . , дгк 1 j d2h д2/г(r) Э2/г(r) \
"v = ~2~ ° дх°дх>- + ~2 [dx"dxv ~~ dxvdxa ~~ дх"дха )'
^93'4^
Покажем теперь, что это соотношение можно разбить на два следующих:
D _ 1 gaX, д ^цу ,Q" ..
- 2 6 (93.5)
Э2Л д2Л" д2Л" ^ ^ ^
dx"dxv ~ dxvdxa ~ дх"дха = °' (93'6^
Действительно, в соответствии с (93.5) и нашим первоначальным
выражением для тензора энергии - импульса (93.1) мы
можем, очевидно, опуская космологический член, написать:
-1 е пт;= (а; _ ф s; а) =
¦' 51 'VS+S-lfe-(r)з-7>
( Эл:2 Эу2 дг2 ~ дГ- Д 2
Это "волновое уравнение" имеет хорошо известное решение, близкое к тому,
что используется в теории запаздывающих потенциалов:
[К - ф6;ft) - ± J 1 ~-фЗ. феиИг. (93.8)
§ 93. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В СЛАБЫХ ПОЛЯХ
245
Интегрирование здесь производится по всему пространственному объему; г
является расстоянием от точки наблюдения, в которой
мы вычисляем^ до соответствующего элемента объема dxdydz\ квадратные
скобки указывают на то, что следует использовать значения Т\,
соответствующие моменту времени более раннему, нежели интересующий
нас.(при этом интервал между ними должен равняться времени, которое
необходимо для того, чтобы сигнал, обладающий единичной скоростью, дошел
от рассматриваемого объема интегрирования dx dy dz до точки наблюдения).
