Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Приравняв это выражение к нулю (как это следует делать для света) и
поделив его затем на dt2, получим общее уравнение для скорости пробных
лучей вблизи пучка:
(1 " йп) 1&-+1F- + TIF+ 2Лц -5Г = 1 + 113 2)
Рассмотрим сначала случай, когда пробные лучи движутся параллельно оси х
(а следовательно, и пучку). Тогда уравнение
§ ИЗ. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПУЧКА СВЕТА
283
для скорости имеет решения
*L= + i и-? = -1±?;. (пз.з)
Рассматривая далее случай, когда пробные лучи распространяются
параллельно оси у, т. е. в плоскости, перепендикулярной пучку, приходим к
следующим решениям:
-f'=±T/T+ftn. (113.4)
Из выражений (113.3) видим, что пробные лучи света, движущиеся
параллельно пучку в том же самом направлении, что и свет в пучке,
обладают единичной скоростью в любой точке поля; напротив, скорость
пробного луча, движущегося в любом другом направлении, определяется, как
и следовало ожидать, ориентацией этого луча в гравитационном поле
изучаемого пучка, поскольку величина hn зависит от их взаимного
пространственного расположения (см. (113.1)).
Можно также найти ускорение пробного луча в этом гравитационном поле.
Дифференцируя выражение (113.2), получаем уравнение для ускорения в общем
виде: с( dx и dx , и \ ilx , 0 dy d3y , 0 dz d2z
г Ли ИГ ~г ? dt dt* " dt ~W ~~
-(-af-2т+')т"°- С >з.5)
Отсюда для частного случая, когда мгновенные значения компонент скорости
пробного луча равняются
-аН'. -зг = -зг = °. ""ад
получаем
-37?-=0. (U3.7)
т. е. скорость такого пробного луча остается единичной и параллельной
пучку, а следовательно, в соответствии с общим выражением (113.2), все
время остаются нулевыми компоненты скорости, перпендикулярные пучку.
Этот результат весьма любопытен, так как означает, что в
частном случае параллельных и одинаково направленных лучей
света гравитационное взаимодействие между лучами не возникает. Этот вывод
согласуется с предположением, что изучаемый пучок света стационарен, и
подтверждается свойствами параллельных лучей, которые приходят от
удаленных астрономических объектов.
284
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
в) Ускорение пробных частиц вблизи пучка. Найдем теперь, как
гравитационное поле пучка излучения воздействует на пробные частицы,
находящиеся первоначально в покое вблизи пучка.
Ускорение такой пробной частицы определяется согласно общему уравнению
геодезической (74.13):
d2xa , га dx11 dxv л + 1 ^ " и-
В случае покоящейся частицы, т. с. при условиях
dx _ dy dz " dt .
ds ds ds ' ds '
это уравнение принимает вид
d2xa ds3
+ Г4°4 = 0.
Подставляя значения символов Кристоффеля, соответствующие гравитационному
полю пучка (113.1), получаем в приближении, используемом при решении
уравнений поля, следующие выражения:
d2x 1 dhit d2y 1 о/г44 d2z 1 д/г44
ds2 2 dx ' ds2 2 dy ' ds2 2 dz
Далее, подставим сюда явное выражение для /г44 из (113.1), справедливое в
непосредственной близости с пучком. Тогда после некоторых преобразований
получим для частицы, которая вначале покоилась, следующее выражение для
параллельной пучку компоненты ускорения:
~^Г " 2р{ [** + !р + г2?12 [(/ - х)2 + у2 + г*]1'2]' (113-8)
а для компоненты ускорения в плоскости, перпендикулярной пучку, находим
0у__ 2р у (___ х , / | (П39)
dt2 " у2 + г2\ [Х2 + у2 _|_ га]1>2 ' [(/ _
ху + у2 + г2]Ь2|.
Значения л:, у, г в этих формулах задаются положением пробной частицы;
напомним также, что световой пучок расположен вдоль оси х на отрезке от
х-0 до х-1.
Если пробная частица расположена в точке, одинаково удаленной от обоих
концов отрезка, вдоль которого распространяется свет, то общие выражения
упрощаются. Ускорение в направлении, параллельном пучку, исчезает:
-g- = 0, (113.10)
§ >Н. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ СВЕТОВОГО ПАКЕТА 285
а выражение для ускорения, направленного к пучку, принимает вид
Полученные результаты для ускорения частицы в направлении, параллельном и
перпендикулярном' пучку света, замечательны по следующим причинам. Во-
первых, оба выражения, и (113.8) и (113.9), ровно в два раза превосходят
аналогичные результаты ньютоновской теории, если вместо пучка света взять
материальный стержень, имеющий ту же плотность и ту же длину, что и пучок
излучения. Это еще один пример (ср. с § 110), когда излучение создает
более интенсивное гравитационное поле, нежели распределение вещества той
же плотности.
Во-вторых, из формул (113.8) и (113.10) вытекает интересное следствие, а
именно, что ускорение, параллельное пучку, направлено в сторону большего
из отрезков, на которые делится его длина в том случае, когда частица
расположена к одному из концов ближе, чем к другому. Если же частица
помещена з точке, равноудаленной от обоих концов пучка, то ускорение
равно нулю, а следовательно, если частица не расположена прямо на самом
пути пучка, то нет никакого преобладающего гравитационного воздействия на
нее в направлении распространения света. Таким образом, это воздействие
отличается от эффекта светового давления, которое действует на частицу,
