Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
общем для всех систем координат, во избежание неявных предположений,
которые могут быть связаны с определенным выбором системы координат.
Согласно же принципу эквивалентности эти аксиомы следует выбирать так,
чтобы они совпадали с соответствующими выражениями специальной теории
относительности при введении естественных координат в рассматриваемой
точке.
Из сказанного вытекает, что корректное выражение второго закона
термодинамики в общей теории относительности можно получить, просто
записав формулу, найденную в специальной теории относительности (119.1),
в ковариантном виде [77]:
(ф0 У - S МбхЧЖх* > (119.2)
Вводя вектор энтропии
S>* = <P"4f. (119'3>
придадим (119.2) более компактную форму:
(c)Лб*16хабх*б*">-^2-. (119.4)
* 0
Последнее выражение удовлетворяет, очевидно, принципу ковариантности,
поскольку оно является тензорным выражением
ранга нуль, ибо (qpodx^/ds)^ есть скаляр как свернутая ковари-
антная производная от вектора; величина У-g 6x1Hx2dx56xi есть скаляр, так
как представляет собой элемент четырехмерного объема, выраженный в
естественной мере *), и, наконец, величина 6Qo/7'0 - также скаляр, что
очевидно ввиду ее независимости от
*) V-g есть якобиан преобразования от прямоугольных координат, в которых
элемент объема равен бх'б^б^бх4. (Прим. ред.)
§ 120. к ИНТЕНПНЕТЛЦИИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ВТОРОГО ЗАКОНА 301
конкретного задания системы координат. Полученное выражение удовлетворяет
также принципу эквивалентности, так как, будучи записанным в естественных
координатах любой заданной точки, оно переходит в формулу (119.1)
специальной теории относительности (свернутую ковариантную производную
(фоdx^jds)^ для этого надо заменить обычной дивергенцией, а величину У-g
положить равной единице).
Итак, выражение (119.2) удовлетворяет всем условиям, выполнения которых,
как мы теперь знаем, надо потребовать, а потому оно может быть принято в
качестве формулировки релятивистского второго закона термодинамики.
Отметим, что эта формулировка не является единственной, так как можно
построить другие, более сложные ковариантные выражения, которые в случае
плоского пространства - времени также переходят в формулировку второго
закона в специальной теории относительности. Следовательно, введенное
выражение (119.2) надо рассматривать как постулат, о полной
справедливости которого можно судить лишь на основе результатов
наблюдений.
Подчеркнем все же, что мы выбрали разумный путь, приняв непосредственную
ковариантную формулировку второго закона специальной теории
относительности: наш предыдущий опыт ковариантной формулировки
релятивистских выражений для пространственно-временного интервала и
геодезических линий вселил в нас уверенность, что, когда такая процедура
возможна, она приводит к правильному результату. Отметим также, что
теоретические следствия, вытекающие из постулированного в таком виде
релятивистского закона, не противоречат остальным результатам теории
относительности, В частности, мы найдем такие примеры, когда выводы
релятивистской термодинамики можно проверить методами одной только
релятивистской механики.
В заключение заметим, что для практических приложении обычно выгоднее
использовать следующую, эквивалентную (119.2), форму:
дИ* (фо ЧГ ^хгбх36х4 > , (119.5)
которая выводится с помощью уравнения (46) из Приложения III.
§ 120. К интерпретации релятивистского второго закона термодинамики
Так как мы приняли, что релятивистский первый закон термодинамики есть
просто другое выражение законов релятивистской механики, особенно важно
ясно понять релятивистскую формулировку второго закона, так как именно
второй закон определяет
302
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
характер релятивистской термодинамики. Попробуем детально разобраться в
этом вопросе.
Прежде всего отметим, что различие между обратимыми и необратимыми
процессами сохраняется и в релятивистской термодинамике из-за наличия
двух знаков - равенства и неравенства- в выражении второго закона, причем
первый из них относится к случаю обратимых процессов, а второй - к случаю
необратимых.
Знак неравенства указывает также на то, что в случае необратимых
процессов имеется различие между прямым и обратным течением времени, как
и в обычной термодинамике. Действительно, формулировка вторбго закона
термодинамики зависит от знака, приписываемого приращению координатного
времени 6х4, стоящему в левой части неравенства. Следовательно, если
пренебречь возможностью флуктуаций, можно сказать, что принцип
возрастания энтропии указывает на выделенное направление течения времени
в релятивистской термодинамике, так же как и в классической. Это -
полезное замечание в связи с тем, что для наглядности принципов теории
относительности время часто представляют как четвертую ось,
перпендикулярную обычному пространству; при этом теряются соображения
(независимо от того, фундаментальны они или нет), на которых мы
основываем направленность течения времени.
