Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
а. Чистая геометрия окрестности. Калибровочная инвариантность. Для того чтобы перейти от евклидовой геометрии к геометрии Римана. мы предположили в гл. И, чю при перепоев направления вектора из точки P в точку P' путь перехода между этими двумя точками пе безразличен. Вейль делает следующий шаг, допуская подобную же зависимость от пути длины вектора при его переносе. При таком предполол^е-нии возможно еще сравнивать длины, измеренные в одной и той же мировой точке, но уже нельзя сравнивать длины, измеренные в различных мировых точках. В соответствии с этим в теории Вейля измерения позволяют установить только отношения gik друг к другу, но не сами эти величины. Фиксируя сначала абсолютные значения gih каким-либо произвольным образом, определим квадрат длины масштаба выражением
ds2 == gikdx’dx4,
если dx'—разности координат его концов. (Мы будем говорить здесь и в дальнейшем для краткости о длине масштабов, но, конечно, в случае, времениподобиого линейного элемента все сказанное следует относить к периоду часов.) Если мы перенесем теперь наш масштаб
*) Cm. примеч. 22.
8 65. ТЕОРИЯ ВЕЙЛЯ
257
ВДОЛЬ определенной кривой Xi-XiIt) из точки P' (t) в точку P'(t + dt), то квадрат длины его ds2 — I при этом изменит свое значение. Мы постулируем, что это изменение происходит всегда на одну и ту же часть первоначального значения I:
dlldt = —I d<fldt, (472)
где ср — определенная функция t, не зависящая уже от I. В качестве второй аксиомы примем, что dtp Idt зависит лишь от первых производных координат dx,ldt. Так как, далее, уравнение (472) должно оставаться справедливым при любом выборе параметра t, то dcp/df должна быть однородной функцией первой степени от dx^dt. Мы можем еще уточнить вид этой функции, рассмотрев разъясненное в § 14 ионятие параллельного переноса. Это понятие было введено в § 14 через посредство двух требований, из которых одно устанавливает неизменность компонент вектора при бесконечно малом параллельном переносе в соответственным образом выбранной системе координат, тогда как другое устанавливает неизменность длины вектора при параллельном переносе. Первое предположение мы можем сохранить неизменным; оно приводит к выражению (64), определяющему изменение компонент вектора:
dll _ -pi dx^ ..г dt ~ rs dt S ’
где
pi _ pi
1 rs - A Sr»
Второе предположение, очевидно, теряет здесь смысл, так как два вектора в различных точках уже нельзя сравнить по длине. Вместо этого мы должны ввести требование, чтобы при параллельном переносе длина изменялась согласно (472):
I = = SikVf (473)
Используя (64), получаем сразу, что величина d<p/dt должна быть линейной формой dx Idt:
d<p = ^idxt. (474)
Только в этом случае, следовательно, возможен парад-
258 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕІШІ.1Х ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
лелышй перенос. Далее, учитывая, что
Tiirs = gjftr?s; Tirs = gihTKn, (6С)
получаем
dgirldx* 4- gir(ps — Гі.,, + Г г .is. (475)'
Таким образом, коэффициенты связпости геометрии Вейля отличаются от соответствующих коэффициентов Романовой геометрии. Мы будем всюду выражения для последних, получающихся из первых при ф, = 0, отмечать звездочкой. Итак, если ГііГ8— величины (69), то
Г1>г. — Tjjrs -[- 1/2 (^ггфа “1“ ??ізфг ^гвфі)- (476)
Мы установили абсолютные величины gih совершенно произвольно. Вместо системы величин gib МЫ МОГЛИ бы С тем же успехом применить систему величин XgfJtl где Я— произвольная функция точки. Все элементы длины пришлось бы тогда умножить па Я, и вместо фі мы полу-
г1 5 1 П X
чили бы согласно (4 і А) систему величин фі-------------7- =
дх1
= ср,__—,. Установление множителя Я, калибровки,
л Ox1
в геометрии Вейля столь же произвольно, как и выбор координатной системы в римановой геометрии. Так же как в геометрии Римапа мы требовали инвариантности всех геометрических соотношений и физических законов относительно любого преобразования координат, в геометрии Вейля мы должны потребовать сверх того еще инвариантности их относительно подстановок
gih = ^gih* Фі = Фг — Ar (477)
л дх
т. е. относительно изменений калибровки (калибровочная инвариантность).
р. Электромагнитное поле и метрика мп-р а. Из (472) в результате интегрирования получаем
Если линейная форма q>xdx’ представляет собой полный дифференциал, то длина вектора не зависит от пути, по которому он переносится, и мы возвращаемся к римано-
§ 65. ТЕОРИЯ ВЕЙЛЯ
259
вой геометрии. Необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю выражений
'“-г-З- (479)
В самом деле, в этом случае всегда возможно соответствующим выбором калибровки достичь того, чтобы вектор фі был ранен нулю. В общем случае, однако, величины Fih будут отличаться от нуля. Они образуют ковариант-ные компоненты бивектора, которые, сверх того, остаются неизменными при изменении калибровки по (477). Они удовлетворяют, далее, уравнениям
dFjb 3F,, дРъ,
—Г + —Г + —= 0. (480
дх дх дх%
вытекающим из (479). Легко видеть, что соотношения (479), (480) совершенно одинаковы с уравнениями (206), (203) электронной теории. Аналогия, однако, идет еще дальше. Если стать (в противоположность утверждениям теории Ми) на ту точку зрения, что все электромагнитные явления первично обусловлены пространственно-временным распределением напряженностей полей, потенциалы же имеют лишь значение математических вспомогательных величин, то все значения потенциала фі, приводящие к одинаковым напряженностям поля Fii, будут физически совершено равнозначными, так что в них всегда будет оставаться неопределенным градиент д^/дх\ IIo мы видели, что то же самое относится к метрическому вектору фі. Таким образом, мы приходим вместе с Вейлем к отождествлению величин обоих типов: метрический вектор ф„ определяющий согласно (478) изменение дли-ны при перенесении, должен (с точностью до произвольного числового мноокителя) совпадать с электромагнитным 4 потенциалом. В теории Эйнштейна гравитационные эффекты внутренне связаны с поведением масштабов и часов, так что одно следует однозначно из другого; в теории Вейля то же имеет место в отношении электромагнитных действий. В этом смысле и гравитация, и злектричесіво в теории Вейля являются следствиями метрики мира.